Matematyka.pl

Mam zbadać dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} -(a+b)x ^{2}-(a-b)x+3 }\) i \(\displaystyle{ P(x)=(x-3)(x-1)}\).

Najsłuszniejszym pomysłem mi się tu wydawało podzielenie tych wielomianów pisemnie, a następnie przyrównanie reszty do zera. Tak też zrobiłem, ale jako wynik dzielenia wyszło mi \(\displaystyle{ x+(4-a-b)}\), a reszta mi wyszła w postaci: \(\displaystyle{ -x(5a+3b-16)+12-4a-4b}\) i tutaj zrozumiałem, że albo mój pomysł był zły albo oprócz przyrównania reszty do zera potrzebny jest jeszcze jeden warunek, bo przecież są dwie niewiadome.
Nie wiem jak dalej ruszyć.

Można prościej. Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ W}\) ma się dzielić przez \(\displaystyle{ P}\) to \(\displaystyle{ W(3)=W(1)=0}\). Z tego warunku dostaniesz układ dwóch równań.

PS dzielenie też jest pomysłem. Jeśli reszta to wielomian pozornie stopnia \(\displaystyle{ 1}\) to zerowanie się reszty oznacza, że ten wielomian tak naprawdę jest wielomianem zerowym (to jest wskazówka).

Albo:
\(\displaystyle{ W(x)\equiv P(x)\cdot (x-p)}\)
czyli trzy równania, trzy zmienne. W tym przypadku, jako pierwsze, z automatu pojawi się trzecie miejsce zerowe

Pozdrawiam