Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu zespolonego:
\(\displaystyle{ W(x)=(z^{4} - (12+i)^{8} )( z^{4} -4z^{3} +14z^{2} +44z+25)}\)
jeżeli \(\displaystyle{ z_{0} = 3+4i}\) jest jednym pierwiastkiem wielomianu. Wybrać z nich te, które są w 4 ćwiartce płaszczyzny zespolonej.
Jak zacząć i to poprowadzić?

Wystarczy zauważyć, że sprzężenie do `z_0` też jest pierwiastkiem tego wielomianu

Dobra mam odp. Myślę, że dobrze: \(\displaystyle{ 3-4i}\) oraz \(\displaystyle{ 143-24i}\).

Tych pierwiastków jest osiem.

Zapomniałem napisać wszystkich, wypisałem te w 4 ćw. Oprócz tego jeszcze dwukrotne \(\displaystyle{ -1, 3+4i, 24i-143, 143+24i, -143-24i}\).

Ok

nie wiem czy to jest ok , pierwiastki związane z \(\displaystyle{ 143+24i=(12+i)^2}\) otrzymamy mnożąc powyższą liczbę przez pierwiastki czwartego stopnia z jedności
czyli \(\displaystyle{ -1,i,-i}\)
W jego odpowiedzi nie ma pierwiastków w których występuje \(\displaystyle{ 143i}\)

Fakt, culpa mea

Może tak: Z tej pierwszej części wielomianu 143+24i jest pierwiastkiem. Resztę wyznaczam inaczej niż wyżej napisałem, wykorzystuję pierwiastek główny czwartego stopnia z 1 czyli i. Rozwiązanie nr 2 to \(\displaystyle{ (143+24i)i=-24+143}\), nr 3 to \(\displaystyle{ (-24+143i)i=-143-24i}\), nr 4 to \(\displaystyle{ 24-143i.}\)