Matematyka.pl

Dane są dwa ciągi: arytmetyczny i geometryczny. Każdy z nich składa się z trzech wyrazów dodatnich. Pierwsze i ostatnie wyrazy tych ciągów są równe. Suma wyrazów którego ciągu jest większa?

Rozwiązuję to zadanie w ten sposób:

Mamy ciągi:

\(\displaystyle{ (a_{1} , a_{2} , a_{3})}\) czyli z treści zadania \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{1}q, a_{1} q^{2})}\) - ciąg geometryczny
\(\displaystyle{ (b_{1}, b_{2} , b_{3}) }\) czyli z treści zadania \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{1} +r, a_{1} q^{2} )}\) - ciąg arytmetyczny

Wiemy, że \(\displaystyle{ q>0}\) i \(\displaystyle{ a_{1}>0}\), bo wszystkie wyrazy ciągów są dodatnie.

Aby porównać sumy wyrazów obu ciągów, muszę porównać tylko ich środkowe wyrazy.

Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego to

\(\displaystyle{ b_{2} = a_{1} +r = \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2} }\)

Badam znak różnicy

\(\displaystyle{ a_{2} - b_{2} = a_{1}q - \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2} = \frac{-a_{1}(q-1) ^{2} }{2} \le 0}\)

Zatem \(\displaystyle{ a_{2} \le b_{2}}\), więc suma wyrazów ciągu arytmetycznego jest większa od sumy wyrazów ciagu geometrycznego, przy czym \(\displaystyle{ a_{2}=b_{2}}\), gdy \(\displaystyle{ q=1}\) i wówczas oba ciągi są stałe.

Natomiast chciałbym spytać, czy poprawnie rozwiązałbym zadanie, gdybym, mając środkowe wyrazy \(\displaystyle{ a_{1}q}\) i \(\displaystyle{ \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2}}\), postawił hipotezę, np. \(\displaystyle{ a_{1}q < \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2}}\) i udowodnił prawdziwość lub nieprawdziwość tej nierówności? Wówczas gdybym doszedł do prawdy, to znaczyłoby, że suma wyrazów pierwszego ciągu jest mniejsza. Potem ewentualnie zbadałbym równość środkowych wyrazów i sprawdził czy i kiedy te wyrazy są równe.
Czyli generalnie zastanawiam się, czy takie postawienie hipotezy w matematyce i udowodnienie prawdziwości lub nieprawdziwości danego wyrażenia jest poprawne.

VanHezz pisze: 10 lis 2021, o 12:04czy poprawnie rozwiązałbym zadanie, gdybym, mając środkowe wyrazy \(\displaystyle{ a_{1}q}\) i \(\displaystyle{ \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2}}\), postawił hipotezę, np. \(\displaystyle{ a_{1}q < \frac{ a_{1} + a_{1} q^{2} }{2}}\) i udowodnił prawdziwość lub nieprawdziwość tej nierówności?

Przecież dokładnie tak zrobiłeś w pierwszym rozwiązaniu (pomijając postawienie hipotezy, co jest zabiegiem kosmetycznym), do którego, jak rozumiem, nie masz wątpliwości?

Niby tak, ale wydało mi się, że jest różnica, między sytuacją, gdy wychodzę od różnicy \(\displaystyle{ a_{2} - b_{2}}\) i dopiero potem po przekształceniach stwierdzam, czy jest ona mniejsza czy większa od zera, a sytuacją gdy od razu piszę, że \(\displaystyle{ a_{2} - b_{2}<0}\), jak zrobiłem w drugim rozwiązaniu, a dopiero potem to udowadniam.

Czyli rozumiem, że gdybym postawił hipotezę \(\displaystyle{ a_{2} - b_{2}>0}\) i dowiódł, że ta nierówność jest nieprawdziwa, i stwierdził tym samym, że nierówność przeciwna musi być prawdziwa, to byłoby to poprawnie rozwiązane zadanie? Może i to kosmetyczne rzeczy, ale wolę się upewnić.

Nie do końca. Zauważ, że zarówno `a_2` jak i `b_2` są funkcjami zmiennych `a_1`i `q`. Może się okazać, że dla pewnych wartości zmiennych zajdzie jedna nierówność że a dla innych przeciwna.

Tak, ale gdybym wykazał, że przykładowa nierówność jest prawdziwa lub nieprawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych, czyli w tym przypadku dla dowolnego \(\displaystyle{ a_{1}>0}\) i dowolnego \(\displaystyle{ q>0}\)?

Bo stawiając hipotezę

\(\displaystyle{ a_{2}-b_{2}>0}\)

dochodzę do nierówności

\(\displaystyle{ a_{1} (q-1)^{2} <0}\), która jest nieprawidziwa dla dowolnego \(\displaystyle{ a_{1}}\) z dziedziny i dowolnego \(\displaystyle{ q}\) z dziedziny (oprócz \(\displaystyle{ q=1}\), dla którego ciągi są stałe, ale ten przypadek rozważyłbym osobno).

Więc skoro dla wszystkich wartości \(\displaystyle{ a_{1}}\) i \(\displaystyle{ q}\) ta nierówność jest nieprawidzwa, to nierówność przeciwna musiałaby być prawdziwa dla tych samych wartości \(\displaystyle{ a_{1} }\) i \(\displaystyle{ q}\), czy tak?

W tym przypadku tak jest. Udowodniłeś to wprost. Jak masz dowód wprost, to przerobienie go na dowód nie wprost jest banalne.

Problem w tym, że aby obalić błędną tezę, wystarczy podać kontrprzykład. A to nie jest dowodem twierdzenia przeciwnego.