Trzeba analizować- tzn. zadawać sobie pytania pomocne w logicznym zrozumieniu danego pojęcia. Podam przykład:
Zbiór uporządkowany
\(\displaystyle{ X}\) nazywamy zbiorem dobrze uporządkowanym, gdy każdy niepusty podzbiór zbioru
\(\displaystyle{ X}\) ma element najmniejszy.
Dowodzi się, że zbiór dobrze uporządkowany jest liniowo uporządkowany, i każdy element (z wyjątkiem największego) ma następnik. Jasne, że również cały zbiór
\(\displaystyle{ X}\), o ile jest niepusty, ma element najmniejszy. I następnie należy to sobie wyobrazić, takie kolejne następniki, (uświadomić sobie, że w teorii mnogości mogą być dłuższe zbiory niż zbiór liczb naturalnych), i zadać sobie pytanie, czy te warunki na zbiór liniowo uporządkowany nie wystarczą aby był to zbiór dobrze uporządkowany. Okazuje się, że nie, bo można wziąć kopię zbioru liczb naturalnych, tzn.
\(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0\right\},}\) i kopię zbioru liczb całkowitych, tzn.
\(\displaystyle{ \ZZ \times \left\{ 1\right\}}\) , i ich sumę porządkową, wtedy jest to zbiór liniowo uporządkowany, para
\(\displaystyle{ (0,0)}\) jest elementem najmniejszym, każdy element ma następnik, gdyż każda liczba naturalna ma następnik, i każda liczba całkowita ma następnik. Zbiór ten nie jest dobrze uporządkowany, gdyż w
\(\displaystyle{ \ZZ \times \left\{ 1\right\}}\), podobnie jak w
\(\displaystyle{ \ZZ,}\) nie ma elementu najmniejszego, a więc cały zbiór- nie jest to zbiór dobrze uporządkowany.
Jednak mamy fakt, że zbiór liczb naturalnych z dodanym jednym elementem
\(\displaystyle{ T,}\) jako największym, jest dobrze uporządkowany. Można rozważać zbiory tego typu, oznaczmy ten typ jako
\(\displaystyle{ \omega +1}\), można do zbioru tego typu dodać jeszcze jeden ostatni element, oznaczmy typ tego zbioru jako
\(\displaystyle{ \omega +2}\), można rozważać zbiory typów
\(\displaystyle{ \omega +3,\omega +4, \ldots.}\) Można rozważać sumę porządkową zbioru
\(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0\right\}}\) I zbioru
\(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 1\right\},}\) oznaczmy ten typ jako
\(\displaystyle{ 2\omega}\) , wszystkie takie zbiory są dobrze uporządkowane. Można analogicznie rozwaźać zbiory typu
\(\displaystyle{ 2\omega +1, 2\omega+2, \ldots.}\) Można podejrzewać , że zbiór dobrze uporządkowany
\(\displaystyle{ X}\), to taki zbìór liniowo uporządkowany, gdzie ustawiamy element najmniejszy, jego następnik, kolejny następnik, tak długo(być może o wiele dłuższa to konstrukcja niż przeliczalnie wiele kroków) aż wymienimy wszystkie elementy . Aby się o tym przekonać przypuśćmy, że mamy dowolnie wielki przedział początkowy
\(\displaystyle{ A}\) zbioru
\(\displaystyle{ X}\). Jeśli
\(\displaystyle{ A=X}\), to wymieniliśmy wszystkie elementy zbioru
\(\displaystyle{ X}\). Jeśli
\(\displaystyle{ A \neq X}\), to
\(\displaystyle{ X \setminus A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru
\(\displaystyle{ X}\), jego elementy muszą być większe od wszystkich elementów zbioru
\(\displaystyle{ A}\), bo
\(\displaystyle{ A}\) był zbiorem początkowych elementów zbioru
\(\displaystyle{ X}\), zatem takie elementy muszą być większe, ale ponieważ
\(\displaystyle{ X \setminus A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru
\(\displaystyle{ X}\), a
\(\displaystyle{ X}\) jest dobrze uporządkowany, zatem ten zbior ma element najmniejszy. Pokazaliśmy zatem, że jeśli tylko nie wymieniliśmy wszystkich elementów zbioru
\(\displaystyle{ X}\), to jeden element możemy dostawić. Stąd chyba musimy wymienić wszystkie element zbioru
\(\displaystyle{ X}\), do czego zresztą nawiązuje zadziwiające twierdzenie Zermelo, że każdy zbiór da się dobrze uporządkować.
Rozgadałem się, przepraszam. Po prostu zadajesz sobie logiczne pytania, które pomogą Ci zrozumieć dane pojęcie. Oto, tym razem dużo prostszy, przykład:
Np. masz pojęcie rozkładu niepustego zbioru
\(\displaystyle{ X}\)- pokrojenie zbioru na kawałki. No I analizujesz, czy te intuicyjne 'pokrojenie' zbioru odpowiada ścisłej definicji rozkładu. Masz warunek, że każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne, można zastanowić się, czy to nie wystarczy aby było to pokrojeniem zbioru, no I okazuje się, że jakby zbiory tego rozkładu sumowały się do dużo mniejszej części całego zbioru
\(\displaystyle{ X}\), to nie byłoby dobrze. Ale w definicji rozkładu mamy jeszcze warunek, że suma rozkładu daje cały zbiór
\(\displaystyle{ X}\), i już chyba wszystko się zgadza.
No i trzeba szukać wyjaśnienia zagadnienia w różnych źródłach, i zastanawiać się nad tym, zastanawiać się nad twierdzeniami, ćwiczyć zadania, itd.
A jeśli chodzi o znaczki, to warto ciągle pamiętać, że w matematyce ten sam symbol, użyty w różnych miejscach ma zawsze
to samo znaczenie, i te powtarzające się symbole wyrażają związki między pojęciami.
Zbiór pusty nie ma żadnych elementów, więc w szczególności
\(\displaystyle{ \emptyset\not\in \emptyset.}\) Jest to przykład zbioru
\(\displaystyle{ X}\), takiego, że
\(\displaystyle{ X\notin X.}\) ![:lol:](./images/smilies/icon_lol.gif)