Matematyka.pl

Cześć Wszystkim,

Zadanie z książki W. Kołodziej: "Analiza Matematyczna" (Warszawa 1978), strona 52, ćwiczenie 3.

Posługując się twierdzeniem Banacha o punkcie stałym dowieść, że równanie
\(\displaystyle{ x^n - (n+1)(1-x)=0 \ (n \in \NN) }\)
ma w przedziałe \(\displaystyle{ 0<x<1}\) dokładnie jeden pierwiastek.

Proszę o pomoc w wykazaniu, że dla powyższej funkcji istnieje taka \(\displaystyle{ \alpha \in (0,1)}\), że dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in (0,1)}\) mamy \[\rho(f(x),f(y)) \le \alpha\rho(x,y)\]

Z góry dziękuję!

Przekształcamy równanie:\[-x^n=(n+1)(x-1),\]czyli\[-\frac{1}{n+1}x^n+1=x.\]Niech \[f(x)=-\frac{1}{n+1}x^n+1.\]Wtedy\[f'(x)=-\frac{n}{n+1}x^{n-1}.\]Teraz skorzystaj z twierdzenia Lagrange'a.

szw1710 pisze: ↑5 lis 2021, o 21:16Przekształcamy równanie:\[x^n=(n+1)(x-1),\]

Raczej: \(\displaystyle{ x^n = (n+1)(1-x)}\)

Dasio11 pisze: ↑5 lis 2021, o 21:58

szw1710 pisze: ↑5 lis 2021, o 21:16Przekształcamy równanie:\[x^n=(n+1)(x-1),\]

Raczej: \(\displaystyle{ x^n = (n+1)(1-x)}\)

Tak, jakoś po lewej z pamięci plusa widziałem. Ale ten błąd nie wpływa na metodę. Dziękuję za czujność.

Poprawione.

Dzięki za pomoc ale chyba nie o to chodzi. Na tym etapie książki nie było jeszcze mowy nawet o granicy funkcji a co dopiero o pochodnych czy twierdzeniu Lagrange'a. Trzeba to zrobić jakoś bezpośrednio stosując twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Tylko problem mam z tym żeby pokazać, że ta funkcja spełnia założenia tego twierdzenia - czy istnieje taka \(\displaystyle{ \alpha \in (0,1)}\), że dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in X}\) zachodzi \(\displaystyle{ \rho(f(x),f(y)) \le \alpha\rho(x,y)}\)?

wsk: `x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+...+xy^{n-2}+y^{n-1})`

alanacm1899 pisze: ↑6 lis 2021, o 20:35 Dzięki za pomoc ale chyba nie o to chodzi. Na tym etapie książki nie było jeszcze mowy nawet o granicy funkcji a co dopiero o pochodnych czy twierdzeniu Lagrange'a. Trzeba to zrobić jakoś bezpośrednio stosując twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Tylko problem mam z tym żeby pokazać, że ta funkcja spełnia założenia tego twierdzenia - czy istnieje taka \(\displaystyle{ \alpha \in (0,1)}\), że dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in X}\) zachodzi \(\displaystyle{ \rho(f(x),f(y)) \le \alpha\rho(x,y)}\)?

Twierdzenie Lagrange'a jest wygodnym narzędziem w wykazaniu zwężania. Nic więcej. Bez niego dobra jest wskazówka kolegi a4karo.
Chodzi o to, że jeśli funkcja ma ograniczoną pochodną, to spełnia warunek Lipschitza. Bez wchodzenia w założenia, tw. Lagrange'a mówi, że\[f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)\]dla pewnego \(c\) pomiędzy \(x\) i \(y\). Oznacza to np, że jeśli \(|f'(c)|\le\alpha<1\), to\[|f(x)-f(y)|\le \alpha|x-y|\]i mamy wykazane zwężanie. Tobie się wydawało, że tw. Lagrange'a jest inną metodą wykazania tezy zadania. Nie! Jest narzędziem pozwalającym na stwierdzenie możliwości zastosowania twierdzenia Banacha!