żS-4, od robin5hood, zadanie 2

[Liga]

sprawdzamy nierówność dla n=1
\(\displaystyle{ \frac{a}{2}0}\)
zatem nierówność jest spełniona dla n=1
Załóżmy, że istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), że zachodzi \(\displaystyle{ c_n < 1-\sqrt{1-a}}\) wtedy \(\displaystyle{ c_n^2 < 2-a-2\sqrt{1-a}}\) czyli \(\displaystyle{ a + c_n^2 ft( a + c_n^2 \right) N}\) zachodzi \(\displaystyle{ c_n < 1-\sqrt{1-a}}\)

Dowód - nieujemność

Widzimy, że \(\displaystyle{ c_1 = \frac{a}{2} > 0}\) dla \(\displaystyle{ a > 0}\).

Załóżmy, że \(\displaystyle{ c_k > 0}\) wtedy \(\displaystyle{ c_{k+1} = \frac{1}{2} \left(a + c_k^2) > 0}\)

Na mocy twierdzenia o indukcji \(\displaystyle{ c_n > 0}\) dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\).

Dowód - monotoniczność

Widzimy, że \(\displaystyle{ c_1 = \frac{a}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ c_2 = \frac{1}{2}\left(a + \frac{a}{2} \right) = \frac{3}{4}a}\) widzimy zatem, że \(\displaystyle{ c_2 \ge c_1}\)

Załóżmy zatem, że istnieje takie \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ c_{k} \ge c_{k-1}}\) wtedy zachodzi

\(\displaystyle{ \\ c_{k+1} - c_{k} = \frac{1}{2}\left( a + c_k^2 \right) - \frac{1}{2}\left(a + c_{k-1}^2 \right) =}\)

\(\displaystyle{ \\ \frac{1}{2} \left( c_k^2 - c_{k-1}^2 \right) = \frac{1}{2}(c_k - c_{k-1})(c_k + c_{k-1}) > 0}\)

Więc \(\displaystyle{ c_{k+1} > c_{k}}\) ciąg ten jest zatem ściśle rosnący.
Poniewaz ciąg jest nieujemny, ograniczony z góry i ściśle rosnący , więc jest zbiezny.
Ponieważ jest zbieżny więc istnieje granica ciągu , oznaczmy ją przez \(\displaystyle{ g}\)
Zauważmy , że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}c_n=\lim_{n\to \infty}c_{n+1}=g}\)
wtedy
\(\displaystyle{ g=\frac12(a+g^2)}\) no i rozwiązujemy równanie kwadratowe ze względu na \(\displaystyle{ g}\) \(\displaystyle{ g_{1,2}=1\pm \sqrt{1-a}\\
\forall\limits_{n\in N} c_{n}>1-\sqrt{1-a} \;\Rightarrow\; g=\lim\limits_{n\to\infty}c_{n}=1+ \sqrt{1-a}}\)

[scyth]

ten sam błąd co u luka52, zatem też proponuję 3/5

ps. prawidłowo byłoby wg. mnie zauważyć, dla jakich wartości a ten ciąg jest rosnaćy i dla jakich malejący - oboje byli bardzo blisko, zasugerowali się pewnie tym, że sprawdzali czy się nie mylą dla małych wartości a.

[mol_ksiazkowy]

okey

najb elegancko jest dać
\(\displaystyle{ b_n=1-\sqrt{1-a}-c_n}\) i juz mamy ze \(\displaystyle{ b_n>0}\) i uzyskuje sie \(\displaystyle{ b_{n+1}=\frac{b_n}{2}(1-\sqrt{1-a}+c_n)}\), tj \(\displaystyle{ b_{n+1}
}\)