Matematyka.pl

Cześć

Mam problem z pewną granicą funkcji. Wygląda na prostą, mimo to próbuję ją obliczyć od jakiegoś czasu i gdzieś ciągle robię błąd

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{25 + x} -5 }{x} }\)

Próbuję ze sprzężeniem licznika:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{25 + x} -5 }{x} \times \frac{ \sqrt{25 + x} + 5 }{ \sqrt{25 + x} + 5 } }\)

Z tego wychodzi wzór skróconego mnożenia:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\left( \sqrt{25 + x}\right) ^{2} - 5^{2} }{x \left( \sqrt{25 + x} + 5 \right) } }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{25 + x - 25} {x \left( \sqrt{25 + x} + 5 \right) } }\)

I wydaje mi się, że tutaj robię jakiś błąd.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{x} {x \left( \sqrt{\left( x\right) \left( \frac{25}{x} + 1\right) }\right) + 5 } }\)

\(\displaystyle{ \frac{25}{x} }\) dąży do zera?

wos640 pisze: 2 lis 2021, o 10:02 Cześć

Mam problem z pewną granicą funkcji. Wygląda na prostą, mimo to próbuję ją obliczyć od jakiegoś czasu i gdzieś ciągle robię błąd

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{25 + x} -5 }{x} }\)

Próbuję ze sprzężeniem licznika:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{25 + x} -5 }{x} \times \frac{ \sqrt{25 + x} + 5 }{ \sqrt{25 + x} + 5 } }\)

Z tego wychodzi wzór skróconego mnożenia:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\left( \sqrt{25 + x}\right) ^{2} - 5^{2} }{x \left( \sqrt{25 + x} + 5 \right) } }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{25 + x - 25} {x \left( \sqrt{25 + x} + 5 \right) } }\)

I wydaje mi się, że tutaj robię jakiś błąd.

Tak błąd (błędy) masz po swoich słowach.
W ostatniej linijce cytowanego trzeba ,,skrócić" przez x i będzie ok.

Znasz regułę de l'Hospitala?

A po co ci ta reguła?

5 w mianowniku chyba też powinno być w nawiasie.

X się skrócą, jest u góry 1, na dole 1* nawias. Licznik do zera, pierwiastek z 1 to 1 ale co z tym x?

Nie.

wos640 pisze: 2 lis 2021, o 10:02 \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{25 + x - 25} {x \left( \sqrt{25 + x} + 5 \right) } }\)

Po skróceniu o jakim pisałem masz mieć \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{1} { \sqrt{25 + x} + 5 } }\) i można szacować (czyli wstawiać zamiast x-sa zero i obliczyć).

Okej, teraz wychodzi, przeanalizuję to sobie jeszcze raz. Dzięki!

a4karo pisze: 2 lis 2021, o 12:09 A po co ci ta reguła?

Pytam, bo może wos640 zna tę regułę. Dzięki niej w pamięci można obliczyć tę granicę.