Nierówności między średnimi

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
magdabp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 28 paź 2006, o 23:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poland
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 29 razy

Nierówności między średnimi

Post autor: magdabp » 20 paź 2007, o 14:22

Udowodnij:

\(\displaystyle{ \forall a,b>0}\)

1. \(\displaystyle{ min(a, b) \leqslant \frac{2}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}}}\)

2. \(\displaystyle{ \frac{2}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{ab}}\)

3. \(\displaystyle{ \sqrt {ab} \leqslant \frac{a+b}{2}}\)

4. \(\displaystyle{ \frac {a+b}{2} \leqslant \sqrt {\frac {a^2+b^2}{2}}}\)

5. \(\displaystyle{ \sqrt {\frac {a^2+b^2}{2}} \leqslant max(a, b)}\)

-----

\(\displaystyle{ \forall a \geqslant b >0}\)

6. \(\displaystyle{ \frac{1}{8} \frac{(a-b)^2}{a} \leqslant \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \leqslant \frac{1}{8} \frac{(a-b)^2}{b}}\)

---

\(\displaystyle{ \forall a, b, c >0}\)

7. \(\displaystyle{ \sqrt[3]{abc} qslant \frac{a+b+c}{3}}\)
Ostatnio zmieniony 20 paź 2007, o 14:28 przez magdabp, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Nierówności między średnimi

Post autor: luka52 » 20 paź 2007, o 14:27

http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=24533
A 1. i 5. z def. średniej.

Awatar użytkownika
magdabp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 28 paź 2006, o 23:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poland
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 29 razy

Nierówności między średnimi

Post autor: magdabp » 2 lis 2007, o 20:02

nie wiem jak mam zrobić przykłady 1 i 5:/

dowiedziałam się tylko że:

\(\displaystyle{ min(a, b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}}\)

\(\displaystyle{ max(a, b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}}\)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Nierówności między średnimi

Post autor: Piotr Rutkowski » 2 lis 2007, o 20:19

Udowodnię tylko lewą stronę nierówności, prawą zrób analogicznie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \frac{(a-b)^2}{a} \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a-b)^{2}}{8a}\leq \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(a-b)^{2}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}\leq 4a}\)
\(\displaystyle{ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2} q 4a}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b} q \sqrt{4a}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq 2\sqrt{a}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{b}\leq \sqrt{a}}\), co z założenia jest prawdą

ODPOWIEDZ