Matematyka.pl

Hej,

Mam problem z takim żądaniem

Udowodnij że w przestrzeni metrycznej zawierającej co najmniej 3 punkty, istnieje zbiór dwupunktowy nie będący kulą, niezależnie od środka.


Proszę o wskazówkę.

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą parami różnymi punktami tej przestrzeni metrycznej. Załóżmy bez straty ogólności, że odległość \(\displaystyle{ \rho (a,c)}\) jest największą spośród liczb \(\displaystyle{ \rho(a,b),\rho(a,c),\rho (b,c)}\). Przypuśćmy nie wprost, że każdy zbiór dwupunktowy jest kulą. W szczególności zbiór \(\displaystyle{ \{a,c\}}\) jest kulą o środku w pewnym punkcie \(\displaystyle{ x}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in\{a,c\}}\). Dla ustalenia uwagi załóżmy, że \(\displaystyle{ x=a}\). Wówczas \(\displaystyle{ \rho(x,b)=\rho(a,b)\leq \rho (a,c)=\rho(x,c)< r}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ b}\) leży w kuli \(\displaystyle{ \{a,c\}}\). Otrzymaliśmy sprzeczność.