Matematyka.pl

Mam problem z wykazaniem podzielności poprzez indukcje.

Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).

Nie wiem jak przekształcić tezę indukcyjną.
Z góry dzięki.

Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ n\in\NN}\), dla którego liczba \(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\). Chcesz pokazać, że liczba \(\displaystyle{ 2^{2(n+1)+1}+3^{2(n+1)-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).

Wiesz, że \(\displaystyle{ 2^{2(n+1)+1}+3^{2(n+1)-1}=2^{2n+1+2}+3^{2n-1+2}=4\cdot2^{2n+1}+9\cdot 3^{2n-1}=...}\)

JK

A w jaki sposób doprowadzić to do postaci, z której będzie widać, że ta liczba jest podzielna przez 5?

Od tej postaci dzieli Cię jedno przejście - spróbuj sam pokombinować. Pamiętaj, jak wygląda założenie indukcyjne.

JK

konrad099z pisze: ↑24 paź 2021, o 19:15 Mam problem z wykazaniem podzielności poprzez indukcje.

Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).

Obawiam się, że nie jest.

Dla \(\displaystyle{ n = 3}\)

\(\displaystyle{ 2^7 + 3^5 = 371}\)

Dla \(\displaystyle{ n = 4}\) też nie zadziała i kilka innych podstawień również.

Jan Kraszewski pisze: ↑24 paź 2021, o 19:20 Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ n\in\NN}\), dla którego liczba \(\displaystyle{ 2^{2n+1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\). Chcesz pokazać, że liczba \(\displaystyle{ 2^{2(n+1)+1}+3^{2(n+1)-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).

Wiesz, że \(\displaystyle{ 2^{2(n+1)+1}+3^{2(n+1)-1}=2^{2n+1+2}+3^{2n-1+2}=4\cdot2^{2n+1}+9\cdot 3^{2n-1}=...}\)

I co dalej? Mi z rachunków (mało formalnych i na kolanie) wychodzi, że jeżeli to będzie podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\), to rzadko.

No nie jest (przyznam, że nie sprawdziłem kroku bazowego), ale to wynika raczej z pomyłki w zapisie treści zadania. Powinno być zapewne

Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n-1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).

JK

Swoją drogą udowodnienie podzielności przez pięć za pomocą indukcji matematycznej jest w tym akurat przypadku czystą sztuką dla sztuki, wszak wystarczy skorzystać ze wzoru na sumę potęg nieparzystych i, co może umknąć uczniowi szkoły średniej, wykazać, że drugi czynnik jest większy niż \(\displaystyle{ 1}\).

Premislav pisze: ↑25 paź 2021, o 03:08wykazać, że drugi czynnik jest większy niż \(\displaystyle{ 1}\).

To chyba niepotrzebne?

konrad099z pisze: ↑24 paź 2021, o 22:01 A w jaki sposób doprowadzić to do postaci, z której będzie widać, że ta liczba jest podzielna przez 5?

Wracając do zadania. Jeżeli Jan Kraszewski mówi, że raczej chodziło o:

Jan Kraszewski pisze: ↑24 paź 2021, o 23:03 Liczba \(\displaystyle{ 2^{2n-1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).

To pewnie o to chodziło...

Natomiast jak to rozwiązać? Najpierw sprawdzasz ręcznie, czy to zachodzi dla jakiegoś \(\displaystyle{ n}\).
Zobaczmy \(\displaystyle{ n=1}\)

\(\displaystyle{ 2^1 + 3^1 = 5.}\)
\(\displaystyle{ 5}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\), więc zachodzi.

Teraz ustalasz dowolne \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) dla którego liczba \(\displaystyle{ 2^{2n-1}+3^{2n-1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 5}\).
I sprawdzasz, czy zachodzi dla \(\displaystyle{ n+1}\)

\(\displaystyle{ 2^{2(n+1)-1}+3^{2(n+1)-1} = 2^{2n+2-1}+3^{2n+2-1} =2^{2n-1+2} + 3^{2n-1+2} = 4 \cdot 2^{2n-1} + 9 \cdot 3^{2n-1} = ...}\)

No i masz bardzo podobną sytuację. Spróbuj sam, mogę podpowiedzieć, że \(\displaystyle{ 9 = 4+5.}\)

Ale się namieszało w tym poście.
Autor pytał jak uzasadnić krok indukcyjny i JK pokazał jak to zrobić.

Koniec tematu. Próby dopasowania treści zadania do tezy to kombinowanie. Najbardziej zaś kombinuje autor zadania, który nie sprawdził warunku początkowego

Twierdzenie nie jest prawdziwe, bo dla dowolnego `n` ostatnią cyfrą badanej liczby jest `1` lub `9` (Potęgi dwójki kończą się na `8, 2, 8, 2..`, potęgi trójki na `3, 7, 3, 7, ...`).

Można ładniej:

\(\displaystyle{ 2^{2n-1}=2,3,2,3,2,3,.... \mod 5}\)

\(\displaystyle{ 3^{2n-1}=3,2,3,2,3,2,... \mod 5}\)

Na przemian

A sumy po kolumnach dadzą zawsze.:\(\displaystyle{ 5=0}\)...