Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej
-
mostostalek
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej
wystarczy udowodnić nierówność \(\displaystyle{ |x_1+x_2|\leqslant |x_1|+|x_2|}\)..
jeśli nierówność jest prawdziwa to następna nierówność wyglądała by następująco: \(\displaystyle{ |x_1+x_2+x_3|=|(x_1+x_2)+x_3|\leqslant |x_1+x_2|+|x_3|\leqslant |x_1|+|x_2|+|x_3|}\) czyli udawnadniamy wzór dla n=2:
weźmy \(\displaystyle{ x_1}\) równe co do znaku \(\displaystyle{ x_2}\).. czyli albo oba dodatnie albo oba ujemne..
wtedy oczywiście otrzymujemy \(\displaystyle{ |x_1+x_2|=|x_1|+|x_2|}\) z definicji wartości bezwzględnej.. gdyż suma dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią czyli pomijamy znaki wartości bezwzględnych i otrzymujemy równość, a gdy oba są ujemne to przy pomijaniu wartości bezwzględnej zmieniamy znaki wyrażeń na przeciwny i również otrzymujemy trywialną równość..
wystarczy zatem wykazać, że dla \(\displaystyle{ x_1>0}\) i \(\displaystyle{ x_20}\) oraz \(\displaystyle{ x_1>R}\).. zatem otrzymujemy \(\displaystyle{ |R|\leqslant |x_1| qslant |x_1|+|x_2|}\).. jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ |x_1|0 co podchodzi pod pierwszy przypadek sumy o różnych znakach i kończy dowód..}\)
jeśli nierówność jest prawdziwa to następna nierówność wyglądała by następująco: \(\displaystyle{ |x_1+x_2+x_3|=|(x_1+x_2)+x_3|\leqslant |x_1+x_2|+|x_3|\leqslant |x_1|+|x_2|+|x_3|}\) czyli udawnadniamy wzór dla n=2:
weźmy \(\displaystyle{ x_1}\) równe co do znaku \(\displaystyle{ x_2}\).. czyli albo oba dodatnie albo oba ujemne..
wtedy oczywiście otrzymujemy \(\displaystyle{ |x_1+x_2|=|x_1|+|x_2|}\) z definicji wartości bezwzględnej.. gdyż suma dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią czyli pomijamy znaki wartości bezwzględnych i otrzymujemy równość, a gdy oba są ujemne to przy pomijaniu wartości bezwzględnej zmieniamy znaki wyrażeń na przeciwny i również otrzymujemy trywialną równość..
wystarczy zatem wykazać, że dla \(\displaystyle{ x_1>0}\) i \(\displaystyle{ x_20}\) oraz \(\displaystyle{ x_1>R}\).. zatem otrzymujemy \(\displaystyle{ |R|\leqslant |x_1| qslant |x_1|+|x_2|}\).. jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ |x_1|0 co podchodzi pod pierwszy przypadek sumy o różnych znakach i kończy dowód..}\)