Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
Awatar użytkownika
magdabp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 28 paź 2006, o 23:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poland
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 29 razy

Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej

Post autor: magdabp » 20 paź 2007, o 14:15

\(\displaystyle{ \forall_{x_1,....,x_n R; n qslant 2} | x_1 + x_2 + ... + x_n | qslant |x_1|+|x_2|+...+|x_n|}\)

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej

Post autor: mostostalek » 20 paź 2007, o 14:51

wystarczy udowodnić nierówność \(\displaystyle{ |x_1+x_2|\leqslant |x_1|+|x_2|}\)..
jeśli nierówność jest prawdziwa to następna nierówność wyglądała by następująco: \(\displaystyle{ |x_1+x_2+x_3|=|(x_1+x_2)+x_3|\leqslant |x_1+x_2|+|x_3|\leqslant |x_1|+|x_2|+|x_3|}\) czyli udawnadniamy wzór dla n=2:

weźmy \(\displaystyle{ x_1}\) równe co do znaku \(\displaystyle{ x_2}\).. czyli albo oba dodatnie albo oba ujemne..
wtedy oczywiście otrzymujemy \(\displaystyle{ |x_1+x_2|=|x_1|+|x_2|}\) z definicji wartości bezwzględnej.. gdyż suma dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią czyli pomijamy znaki wartości bezwzględnych i otrzymujemy równość, a gdy oba są ujemne to przy pomijaniu wartości bezwzględnej zmieniamy znaki wyrażeń na przeciwny i również otrzymujemy trywialną równość..
wystarczy zatem wykazać, że dla \(\displaystyle{ x_1>0}\) i \(\displaystyle{ x_20}\) oraz \(\displaystyle{ x_1>R}\).. zatem otrzymujemy \(\displaystyle{ |R|\leqslant |x_1| qslant |x_1|+|x_2|}\).. jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ |x_1|0 co podchodzi pod pierwszy przypadek sumy o różnych znakach i kończy dowód..}\)

ODPOWIEDZ