Kres górny/dolny a granica górna/dolna ciągu
: 23 paź 2021, o 14:29
Witam, mam problem ze zrozumieniem pojęcia kresów i granic ciągów. Przykładowo - kresem górnym ciągu (supremum) nazywamy liczbę większą lub równą największej liczbie danego ciągu. Analogicznie dla kresu dolnego.
Granica górna, z tego co zrozumiałem, jest to kres górny zbioru punktów skupienia ciągu, a punkt skupienia ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) to granica jakiegoś podciągu ciągu \(\displaystyle{ a _{n}}\), który jest zbieżny. Granica górna oznaczana jest \(\displaystyle{ \limsup_{ n\to \infty }a _{n} }\).
Mniej więcej rozumiem te definicje, jednak problem pojawia się, kiedy przychodzi coś obliczyć. Przykład: dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = (-1)^{n} \frac{3n+2}{n} }\). Obliczyć kres górny i dolny oraz granicę górną i dolną.
Zatem granicą górną tego ciągu byłoby 3, bo \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty }a _{2k} = 3}\). Zatem \(\displaystyle{ 3}\) jest 1-szym punktem skupienia. Analogicznie, \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty }a _{2k+1} = -3}\). Zatem \(\displaystyle{ -3}\) jest 2-gim punktem skupienia.
Stąd granica górna = 3, a dolna = -3.
Problem się pojawia, gdy przychodzi obliczyć kres dolny i górny, bo na pierwszy rzut oka nie widać, jaka liczba będzie supremum bądź infimum, więc albo należałoby obliczyć monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\), co jest niewykonalne, bo ciąg ten nie jest monotoniczny, albo narysować wykres. Obliczenie kresów podciągów nie daje pewności poprawnego wyniku, przyynajmniej tak mi się wydaje.
Z pewnością muszę gdzieś źle rozumować, czy mógłby ktoś mi to wyjaśnić?
Granica górna, z tego co zrozumiałem, jest to kres górny zbioru punktów skupienia ciągu, a punkt skupienia ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) to granica jakiegoś podciągu ciągu \(\displaystyle{ a _{n}}\), który jest zbieżny. Granica górna oznaczana jest \(\displaystyle{ \limsup_{ n\to \infty }a _{n} }\).
Mniej więcej rozumiem te definicje, jednak problem pojawia się, kiedy przychodzi coś obliczyć. Przykład: dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = (-1)^{n} \frac{3n+2}{n} }\). Obliczyć kres górny i dolny oraz granicę górną i dolną.
Zatem granicą górną tego ciągu byłoby 3, bo \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty }a _{2k} = 3}\). Zatem \(\displaystyle{ 3}\) jest 1-szym punktem skupienia. Analogicznie, \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty }a _{2k+1} = -3}\). Zatem \(\displaystyle{ -3}\) jest 2-gim punktem skupienia.
Stąd granica górna = 3, a dolna = -3.
Problem się pojawia, gdy przychodzi obliczyć kres dolny i górny, bo na pierwszy rzut oka nie widać, jaka liczba będzie supremum bądź infimum, więc albo należałoby obliczyć monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\), co jest niewykonalne, bo ciąg ten nie jest monotoniczny, albo narysować wykres. Obliczenie kresów podciągów nie daje pewności poprawnego wyniku, przyynajmniej tak mi się wydaje.
Z pewnością muszę gdzieś źle rozumować, czy mógłby ktoś mi to wyjaśnić?