Operator Kuratowskiego i topologia którą indukuje
: 23 paź 2021, o 14:19
Niech dany będzie zbiór X. Przez operator Kuratowskiego rozumiemy funkcję \(\displaystyle{ c : P(X) \rightarrow P(X)}\) o następujących czterech własnościach :
1. \(\displaystyle{ \bigvee_{A \subset X} A \subset c(A)}\)
2. Dla każdych dwóch \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) takich, że \(\displaystyle{ A \subset B}\) zachodzi \(\displaystyle{ c(A) \subset c(B) }\)
3. Dla każdych dwóch \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) zachodzi \(\displaystyle{ c(A\cup B) = c(A) \cup c(B)}\)
4. \(\displaystyle{ \bigvee_{A \subset X} c(c(A)) = A}\)
Mam pokazać że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ c}\) o powyższych własnościach istnieje topologia \(\displaystyle{ T}\) w \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ C(A) = \bar{A}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ A \subset X}\), gdzie przez tą kreskę nad \(\displaystyle{ A}\) rozumiemy domknięcie zbioru A.
Dostałem wskazówkę że trzeba zacząć od rozwazenia takiej rodziny zbiorów :
\(\displaystyle{ T := \left\{ A \subseteq X : c(X \setminus A) = X \setminus A \right\} }\)
I tutaj jest problem :
1. Skąd w ogóle ta rodzina się zbierze? Skąd wiemy że jest to topologia - czy może musimy pokazać, że to jest topologia?
2. Skąd w ogóle wiemy że istnieje jakikolwiek zbiór \(\displaystyle{ A}\) w tej rodzinie \(\displaystyle{ T}\)? (poza zbiorem pustym)
3. Rozumiem, że teraz odpowiednio wykorzystując cztery własności funkcji \(\displaystyle{ c}\) mamy pokazać, że domknięcie dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A}\) z rodziny \(\displaystyle{ T}\) jest równe \(\displaystyle{ c(A)}\)?
1. \(\displaystyle{ \bigvee_{A \subset X} A \subset c(A)}\)
2. Dla każdych dwóch \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) takich, że \(\displaystyle{ A \subset B}\) zachodzi \(\displaystyle{ c(A) \subset c(B) }\)
3. Dla każdych dwóch \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) zachodzi \(\displaystyle{ c(A\cup B) = c(A) \cup c(B)}\)
4. \(\displaystyle{ \bigvee_{A \subset X} c(c(A)) = A}\)
Mam pokazać że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ c}\) o powyższych własnościach istnieje topologia \(\displaystyle{ T}\) w \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ C(A) = \bar{A}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ A \subset X}\), gdzie przez tą kreskę nad \(\displaystyle{ A}\) rozumiemy domknięcie zbioru A.
Dostałem wskazówkę że trzeba zacząć od rozwazenia takiej rodziny zbiorów :
\(\displaystyle{ T := \left\{ A \subseteq X : c(X \setminus A) = X \setminus A \right\} }\)
I tutaj jest problem :
1. Skąd w ogóle ta rodzina się zbierze? Skąd wiemy że jest to topologia - czy może musimy pokazać, że to jest topologia?
2. Skąd w ogóle wiemy że istnieje jakikolwiek zbiór \(\displaystyle{ A}\) w tej rodzinie \(\displaystyle{ T}\)? (poza zbiorem pustym)
3. Rozumiem, że teraz odpowiednio wykorzystując cztery własności funkcji \(\displaystyle{ c}\) mamy pokazać, że domknięcie dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A}\) z rodziny \(\displaystyle{ T}\) jest równe \(\displaystyle{ c(A)}\)?