Matematyka.pl

W jaki sposób możemy pokazać, że aby sześciokąt opisany na okręgu miał możliwie najmniejsze pole, to jest to sześciokąt foremny?

Można spróbować wyjść od faktu, że taki sześciokąt można podzielić na 6 trójkątów o wysokości równej promieniowi, rozłożyć go na 12 trójkątów prostokątnych, 6 par po 2 trójkąty podobne, posklejać w 6 równoramiennych i spróbować uzależnić pole od ich ramion i kątów ostrych bazując na wzorze na pole trójkąta \(\displaystyle{ P = \frac{a^2 \sin \alpha}{2}}\), taki luźny pomysł

Wypukłość tangensa może się przydać

Podejrzewam, że ważna będzie nie tyle jego postać, a sama wartość obwodu figury, gdyż pole figury opisanej na okręgu to połowa iloczynu obwodu i długości promienia wpisanego w figurę.