Matematyka.pl

Korzystając z tematu o logarytmach, chciałbym spytać czy poniższe przekształcenia są poprawne. Logarytmy nie są moją dobrą stroną.

Mam udowodnić, że \(\displaystyle{ 2^{\log_3{5}} }\)\(\displaystyle{ = 5^{\log_3{2}}}\)

\(\displaystyle{ 2^{\log_3{5}} = 2 ^{ \frac{\log_2{5}}{\log_2{3}} } = ( 2^{\log_2{5}} )^{ \frac{1}{\log_2{3}} } = (5^{\log_2{3}}) ^{-1} = (5^{ \frac{\log_3{3}}{\log_3{2}} } ) ^{-1} = (5 ^{ \frac{1}{\log_3{2}} })^{-1} = ((5 ^{\log_3{2}} ) ^{-1} ) ^{-1} =5 ^{\log_3{2}} }\)

Pozdrawiam.

VanHezz pisze: 22 paź 2021, o 15:39\(\displaystyle{ 2^{\log_3{5}} = 2 ^{ \frac{\log_2{5}}{\log_2{3}} } = ( 2^{\log_2{5}} )^{ \frac{1}{\log_2{3}} }\ \red{=}\ (5^{\log_2{3}}) ^{-1} = (5^{ \frac{\log_3{3}}{\log_3{2}} } ) ^{-1} = (5 ^{ \frac{1}{\log_3{2}} })^{-1}\ \red{=}\ ((5 ^{\log_3{2}} ) ^{-1} ) ^{-1} =5 ^{\log_3{2}} }\)

Czerwone równości są nieprawdziwe.

Nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ a^\frac{1}{b}=\left( a^b\right)^{-1}. }\)

JK

PS
W dowodzie wystarczy skorzystać z faktu, że dla \(\displaystyle{ a,b>0}\) mamy \(\displaystyle{ a=b \Leftrightarrow \log_3a=\log_3b.}\)

Faktycznie, pośpiech robi swoje. Tak chyba lepiej:

\(\displaystyle{ ( 2^{\log_2{5}} )^{ \frac{1}{\log_2{3}} }= 5^{(\log_2{3}) ^{-1} } = 5 ^{ (\frac{\log_3{3}}{\log_3{2}}) ^{-1} } = 5 ^{\log_3{2}} }\)


Co do twojego rozwiązanie, to znam je, bo podobne było odpowiedziach. Sam niestety na nie nie wpadłem.

VanHezz pisze: 22 paź 2021, o 17:50Tak chyba lepiej:

\(\displaystyle{ ( 2^{\log_2{5}} )^{ \frac{1}{\log_2{3}} }= 5^{(\log_2{3}) ^{-1} } = 5 ^{ (\frac{\log_3{3}}{\log_3{2}}) ^{-1} } = 5 ^{\log_3{2}} }\)

Teraz jest dobrze.

JK