Matematyka.pl

Witam, zacząłem "odkurzać" trochę swoją wiedzę matematyczną i zakupiłem do powtórek książkę PWN Granice i pochodne - metody rozwiązywania zadań, autorzy: Niedziałomski, Kowalczyk, Obczyński. Na stronie 7 i 9 są podane dwa przykłady, których nie jestem w stanie pojąć. Możliwe, że to jakieś skróty myślowe, bo raczej nie błędy.

Zad 1.
Z def Cauchy'ego granicy w punkcie wykaż, że:
\(\displaystyle{
\lim_{ x\to 2} f(x)=12
}\)
gdzie
\(\displaystyle{
f(x)= \frac{x ^{3} -8}{x-2}
}\)

Trzeba znajeźć takie \(\displaystyle{ \delta}\), aby dla każdego \(\displaystyle{ x \neq 2}\), spełniającego nierówność: \(\displaystyle{ \left| x - 2\right| < \delta }\), była spełniona nierówność:
\(\displaystyle{
\left|\frac{x ^{3} -8}{x-2} -12 \right|< \epsilon
}\)

Zauważmy, że (jak tylko widzę coś takiego w książce do samodzielnej nauki to dostaję palpitacji serca):
\(\displaystyle{
\left|\frac{x ^{3} -8}{x-2} -12 \right|<\left|\frac{(x-2)(x ^{2} +2x +4)}{x-2} -12 \right|=\left|(x-2)(x +4) \right| \le \left|(x-2)\right|(\left|x\right|+4)
}\)
Tu jest całkiem prosto, elementarne zależności z wartości bezwzględnych żeby spróbować uzyskać term x-2 po prawej i delte

Jeśli \(\displaystyle{ \left| x - 2\right| < \delta }\), to \(\displaystyle{ \left| x\right| \le \left|x-2\right|+2 < \delta +2 }\)

No i mamy co tam chcieliśmy wstawiamy i otrzymujemy coś takiego:
\(\displaystyle{
\left|\frac{x ^{3} -8}{x-2} -12 \right|< \delta(\delta+6)= \delta ^{2} +6\delta
}\)
i tu zaczyna się zgrzyt. Autorzy przyjęli \(\displaystyle{ \delta=\min\left\{ \frac{\epsilon}{7},1\right\}}\) !!!
Lecimy dalej:
\(\displaystyle{
\left|\frac{x ^{3} -8}{x-2} -12 \right|< 7\delta \le 7 \frac{\epsilon}{7} = \epsilon
}\)

Skąd to min się tam wzięło, dlaczego \(\displaystyle{ 7\delta}\) skoro po prawej było \(\displaystyle{ \delta ^{2} +6\delta}\). Czy chodzi o to ze dla malych delta kwadrat bedzie mniejszy od samej delty? Bo dla >2 wiadomo, że to nie jest prawdziwe. A co z tą nieszczęsną jedynką, skąd tam to się wzięło?

Zad2.

Korzystając z def. Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie pokazać, że:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \frac{ \pi }{2} } \sin x=1}\)
Trzeba znaleźć takie \(\displaystyle{ \delta>0}\), że dla każdego \(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{2} }\) warunek \(\displaystyle{ \left| x- \frac{ \pi }{2} \right| <\delta}\) implikuje \(\displaystyle{ \left| \sin x-1\right| <\epsilon}\)

No i mamy
\(\displaystyle{ \left| \sin x-1\right| =\left| \sin x-\sin \frac{ \pi }{2} \right|=2\left| \cos( \frac{x+ \frac{ \pi }{2} }{2} )\right| \left| \sin( \frac{x- \frac{ \pi }{2} }{2} )\right| }\)

Ponieważ funkcja cosinus jest ograniczona oraz na mocy nierówności * \(\displaystyle{ \left| \sin t\right| \le\left| t\right| , t \in \RR }\), mamy

\(\displaystyle{ \left| \sin x-1\right| \le\left| x- \frac{ \pi }{2} \right| }\)
Jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ \delta=\epsilon}\), to

\(\displaystyle{ \left| \sin x-1\right| \le\left| x- \frac{ \pi }{2} \right| <\delta=\epsilon}\) o ile tylko \(\displaystyle{ \left| x- \frac{ \pi }{2} \right| <\delta}\)
Z tego tutaj nie jestem pewien tego skrótu, bo wiem, że cos jest oganiczony między -1 i 1 więc czy również dla fukncji cos była by prawdziwa nierówność *?

z góry dziękuję za pomoc. Z całym szacunkiem dla autorów książki, ale o ile pierwszy niebieski tom (repetytorium) był bardzo zrozumiały i czytelnie rozpisany, to z jakiegoś dziwnego powodu w kolejnych zdecydowano się na głupie skróty myślowe, a zostawiono nic nie znaczące głupotki, np. skracanie wizualne ułamków jak w zadaniu 1 (pominąłem dla oszczędności wpisu). Trochę już dawno miałem do czynienia z matematyką i pewne umiejętności mi po prostu "zardzewiały", ale jak widzę coś takiego, to pojawia się pytanie, dla kogo ta książka. Ktoś, kto się uczy, zanim dostrzeże wszelakie skróty, najpierw musi się ich nauczyć. Jak się zapomni, to też mikro wyjaśnienie by było na miejscu. Ciekawe co będzie w kolejnych rozdziałach . Nie wiem czy jakaś errata będzie/jest do tych podręczników gdziekolwiek dostępna. Ktoś może wie? Pozdrawiam

Od razu mówię, że z analizy jestem noga, więc to co się teraz stanie najpewniej nie będzie zbyt eleganckie.

cerbero667 pisze: 21 paź 2021, o 16:20 \(\displaystyle{
\left|\frac{x ^{3} -8}{x-2} -12 \right|<\left|\frac{(x-2)(x ^{2} +2x +4)}{x-2} -12 \right|
}\)

Skąd ta nierówność?

cerbero667 pisze: 21 paź 2021, o 16:20 No i mamy co tam chcieliśmy wstawiamy i otrzymujemy coś takiego:
\(\displaystyle{
\left|\frac{x ^{3} -8}{x-2} -12 \right|< \delta(\delta+6)= \delta ^{2} +6\delta
}\)
i tu zaczyna się zgrzyt. Autorzy przyjęli \(\displaystyle{ \delta=min\left\{ \frac{\epsilon}{7},1\right\}}\) !!!
Lecimy dalej:
\(\displaystyle{
\left|\frac{x ^{3} -8}{x-2} -12 \right|< 7\delta \le 7 \frac{\epsilon}{7} = \epsilon
}\)

Skąd to min się tam wzięło, dlaczego \(\displaystyle{ 7\delta}\) skoro po prawej było \(\displaystyle{ \delta ^{2} +6\delta}\). Czy chodzi o to ze dla malych delta kwadrat bedzie mniejszy od samej delty? Bo dla >2 wiadomo, że to nie jest prawdziwe. A co z tą nieszczęsną jedynką, skąd tam to się wzięło?

Chcemy tak dobrać \(\displaystyle{ \delta}\), żeby \(\displaystyle{ \delta^2 + 6\delta \le \epsilon,}\) dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon > 0.}\)

Teraz cały trik polega na przedstawieniu tej delty za pomocą wyrażenia z epsilonem tak, żeby ta nierówność była spełniona.

Rozpatrzmy sympatyczną sytuację, gdy \(\displaystyle{ \delta \in (0,1]}\):

Wyrażenie \(\displaystyle{ \delta^2 + 6\delta}\) wraz ze wzrostem delty również będzie rosło, największą wartość osiągnie dla największej delty z przedziału, czyli jedynki i ta wartość wyniesie \(\displaystyle{ 1^2 + 6 \cdot 1 = 7.}\)

Czyli dla \(\displaystyle{ \epsilon \le 7}\) weźmiemy sobie \(\displaystyle{ \delta = \frac{\epsilon}{7}}\) wtedy dla dodatnich epsilonów mam spełnioną nierówność.

Dla \(\displaystyle{ \epsilon > 7}\) wystarczy wziąć deltę równą \(\displaystyle{ 1}\) z tego samego powodu.

No i teraz w zależności od tego jakie ustalimy \(\displaystyle{ \epsilon}\) wybierzemy jedną (mniejszą) z opcji, stąd minimum.

Czy to musi być akurat tak? Nie musi, jakbyś rozważył przedział \(\displaystyle{ (0, 2],}\) to by nam wyszło \(\displaystyle{ 2^2 + 6 \cdot 2 = 16}\) i wtedy \(\displaystyle{ \delta = \min\left\{\frac{\epsilon}{16}, 2\right\}.}\)

Uważam, że pierwsze rozwiązanie jest trochę przekombinowane, choć może nie wczytałem się wystarczająco. Ogólnie początek jest niezły, faktycznie dla zadanego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) masz wyznaczyć \(\displaystyle{ \delta>0}\) ale można też zauważyć, że jeśli istniała by taka dobra \(\displaystyle{ \delta}\) to każda inna mniejsza od niej też będzie dobra. Wiec już na początku można założyć, że będziemy szukać tak aby \(\displaystyle{ \delta \le 1}\). Więc by zapewnić, że \(\displaystyle{ \delta \le 1}\) możemy powiedzieć, że \(\displaystyle{ \delta=\min \left\{ \text{coś zależne od }\epsilon ,1\right\} }\). Jeśli teraz ktoś da nam \(\displaystyle{ \epsilon}\) który nie jest bardzo restrykcyjny (jest duży) to \(\displaystyle{ \delta=1}\) wystarczy. Ale jeśli \(\displaystyle{ \epsilon}\) będzie mały to pewnie \(\displaystyle{ \text{coś zależne od }\epsilon}\) będzie małe i \(\displaystyle{ \delta=\text{coś zależne od }\epsilon}\). Trzeba więc teraz znaleźć to \(\displaystyle{ \text{coś zależne od }\epsilon}\). Wiemy jednak, że nierówność

będziemy testować \(\displaystyle{ x}\) takimi, że \(\displaystyle{ |x-2|<\delta}\) ale \(\displaystyle{ \delta \le 1}\) czyli \(\displaystyle{ |x-2| \le 1}\) czyli \(\displaystyle{ 1 \le x \le 3}\). Więc wystarczy teraz zauważyć, że


więc kładziemy \(\displaystyle{ \delta=\epsilon/7}\), gdy \(\displaystyle{ \delta=1}\) nie wystarczy. Czyli \(\displaystyle{ \delta=\min \left\{ \epsilon/7,1\right\} }\).

Janusz Tracz pisze: 21 paź 2021, o 18:13
będziemy testować \(\displaystyle{ x}\) takimi, że \(\displaystyle{ |x-2|<\delta}\) ale \(\displaystyle{ \delta \le 1}\) czyli \(\displaystyle{ |x-2| \le 1}\) czyli \(\displaystyle{ 1 \le x \le 3}\). Więc wystarczy teraz zauważyć, że

\(\displaystyle{ \left|\frac{x ^{3} -8}{x-2} -12 \right| \le \left| x-2\right| \cdot \left( \left| x\right| +4\right) \le \left| x-2\right| \cdot \left( 3+4\right) < 7\delta}\)

Mówiłem już, że nie lubię analizy? W życiu bym na to nie wpadł. Przyznaję, że dużo sympatyczniejsze niż moje wypociny.

No faktycznie, to ostatnie rozwiązanie bardzo chytre. No ale trzeba umieć to zauważyć . Wydaje mi się, że przykłady były w tej książce wstawiane przez różnych autorów, bo w jednych przykładach jest to rozpisane na czynniki proste, a innych skrótowce. A jeśli chodzi o przykład nr 2 to rozumiem że dobrze myślę z tym cosinusem bo i tak wartość \(\displaystyle{ |\cos x| \le 1}\), więc w dalszym ciągu ta jedynka znika stąd wyrażenie \(\displaystyle{ |\sin x−1|}\) itd.

W 2 przykładzie korzystasz z dwóch faktów \(\displaystyle{ \left| \sin x\right| \le \left| x\right| }\) oraz \(\displaystyle{ \left| \cos x\right| \le 1}\) opisujesz to poprawnie ale mam wrażenie, że sądzisz, iż prawdziwa jest również nierówność \(\displaystyle{ \red{\left| \cos x\right| \le \left| x\right|} }\) która jednak zwykle prawdziwa nie jest.

Tak mi to przez myśl przeszło przyznam się bez bicia, ale tylko na chwilę . Aż sobie musiałem narysować wykres obu funkcji, żeby to organoleptycznie sprawdzić. Dzięki za pomoc wszystkim zaangażowanym i wyczerpujące objaśnienia. Myślę że to zamyka temat. Pozdrawiam