Matematyka.pl

Podaj przykład macierzy kwadratowej takiej, że \(\displaystyle{ exp(A+B) \neq exp(A)+exp(B)}\) .
Próbowałam wziąć macierz \(\displaystyle{ \mathbf{A} =
\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0& 0 \end{array} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbf{B} =
\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1& 2 \end{array} \right)}\)
Wyszło, że \(\displaystyle{ \mathbf{expA} =
\left( \begin{array}{cc}
e & 0 \\
0& 1 \end{array} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbf{expB} =
\left( \begin{array}{cc}
e & 0 \\
e^{2}-e & e^{2} \end{array} \right)}\). Natomiast problem pojawił się gdy chciałam obliczyć \(\displaystyle{ exp(A+B)}\) gdyż macierz \(\displaystyle{ \mathbf{A+B} =
\left( \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
1& 2 \end{array} \right)}\) i macierz ta nie jest diagonalizowala a w takim wypadku nie mam pomysłu jak obliczyć to \(\displaystyle{ exp(A+B)}\)

Iza8723 pisze: ↑17 paź 2021, o 16:39 Podaj przykład macierzy kwadratowej takiej, że \(\displaystyle{ \exp(A+B) \neq \exp(A)+\exp(B)}\) .

Wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ A=B=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0& 0 \end{array} \right)}\) i gotowe bo \(\displaystyle{ I \neq 2I}\). Prawie na pewno chodziło o to aby pokazać, że nie zawsze zachodzi równość

a to można zrobić biorąc jakieś macierze \(\displaystyle{ A,B}\) które nie komutują. Przykładowo jest to zrobione tu przy okazji widać tu związek z macierzą obrotu i faktem, że \(\displaystyle{ e^{i\phi}}\) to obrót w \(\displaystyle{ \CC}\). Możesz też policzyć \(\displaystyle{ e^{\text{Twoja macierz}}}\) korzystając ze wzoru

przy czym transformata Laplace na macierzy jest rozumiana jako transformata po współrzędnych. U Ciebie \(\displaystyle{ X=\left( \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
1& 2 \end{array} \right)}\) więc po żmudnych rachunkach można dostać, że

teraz można policzyć \(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}}\) po współrzędnych wstawić \(\displaystyle{ t=1}\) i dostaniesz \(\displaystyle{ e^{X}}\). I na koniec sprawdź czy faktycznie nie jest to \(\displaystyle{ e^A e^B}\).