Matematyka.pl

Mamy pewien skończony ciąg wartości oczekiwanych \(\displaystyle{ (\mu_{i})}\) oraz skończony ciąg zaszumionych pomiarów \(\displaystyle{ (x_{i})}\). Przy czym nie wiemy, który pomiar odpowiada której wartości oczekiwanej. Wiemy tylko, że istnieje permutacja \(\displaystyle{ \Pi(i)}\) ciągu \(\displaystyle{ (x_{i})}\) taka, że \(\displaystyle{ \Pi(i)}\)-ty pomiar dotyczy wartości \(\displaystyle{ \mu_{i}}\).
Chcę znaleźć \(\displaystyle{ \Pi(i)}\) taką, aby to dopasowanie wartości oczekiwanych i pomiarów było najbardziej prawdopodobne.

Przykład problemu (nie do końca życiowy):
Wiemy, że dzisiaj jest ciśnienie 1100 hPa, wczoraj było 1000 hPa. Mamy bardzo niedokładny barometr, który w ostatnich dwóch dniach zmierzył 1075 hPa i 1050 hPa każdego dnia (ale nie wiemy, kiedy był który pomiar). Chcemy się dowiedzieć, który pomiar dokonano którego dnia (z największym prawdopodobieństwem).

Dodatkowo, mając permutację \(\displaystyle{ \Pi_{0}(i)}\) chcemy znaleźć najbardziej prawdopodobną permutację \(\displaystyle{ \Pi_{1}(i)}\), mniej prawdopodobną od \(\displaystyle{ \Pi_{0}(i)}\).

Podsumowując:
Chcemy analizować możliwe permutacje pomiarów zaczynając od tych najbardziej prawdopodobnych do mniej prawdopodobnych.

Jeśli jest potrzebne odchylenie standardowe szumu, również może być dane.

Pewnie musisz badać `\sum_{i=1}^n |\mu_i-x_{\Pi(i)}|`

a4karo pisze: ↑17 paź 2021, o 07:30 Pewnie musisz badać `\sum_{i=1}^n |\mu_i-x_{\Pi(i)}|`

Problem z tym podejściem jest taki, że nie jest to rozkład normalny

To, do czego na razie doszedłem:
Jako prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ x_{i}}\) odpowiada \(\displaystyle{ \mu_{i}}\) biorę wartość funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(\mu_{i}, \sigma)}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_{i}}\). Wiem, że prawdopodobieństwo dyskretne i ciągłe się różnią. Tłumaczę taki zabieg tym, że możemy przybliżyć \(\displaystyle{ P(x_{i} - \epsilon \le X \le x_{i} + \epsilon)}\) polem prostokąta o wymiarach \(\displaystyle{ f_{\mu_{i}, \sigma}(x_{\Pi(i)})}\) na \(\displaystyle{ 2\epsilon}\). Dodatkowo, jako, że nie interesują nas konkretne wartości prawdopodobieństw, a porównanie ich ze sobą, możemy przeskalować prawdopodobieństwa przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2\epsilon}}\).

Dlatego problem możemy sprowadzić do minimalizacji funkcji \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} f_{\mu_{i}, \sigma}(x_{\Pi(i)})}\) względem funkcji \(\displaystyle{ \Pi}\)

I w tym momencie utknąłem, ponieważ nie mam pomysłu jak zminimalizować funkcję względem permutacji.