Matematyka.pl

Dobry wieczór,

mam nierówność trygonometryczną \(\displaystyle{ \tg^{2}2x+3\sin x<2}\). Do rozwiązania w przedziale od \(\displaystyle{ -\pi}\) do \(\displaystyle{ \pi}\). Próbuję przedstawić ten \(\displaystyle{ \tg2x}\) jako \(\displaystyle{ \frac{\sin2x}{\cos2x}}\). Ale jak potem rozbijam te \(\displaystyle{ \sin2x}\) i \(\displaystyle{ \cos2x}\) wzorami i podnoszę wszystko do kwadratu to wychodzą jakieś skomplikowane liczby, których nijak się nie da uprościć. Mniemam zatem, że nie tędy droga. Jak Waszym zdaniem się za to zabrać?

Wolfram mówi, że w tym przedziale jest 5 pierwiastków równania `...=2`, ale chyba nie ma szans na podanie wzorów na nie

Dobry Wieczór

Jeśli sprowadzimy nierówność trygonometryczną do jednej funkcji pojedynczego argumentu \(\displaystyle{ \sin(x), }\) wtedy po podstawieniu \(\displaystyle{ \sin(x) = t, \ \ t\in [-1, 1] }\) wychodzi nierówność wielomianowa piątego stopnia,

\(\displaystyle{ 12t^5 -12t^4 -12t^3 +12t^2 +3t -2 < 0, }\)

którą możemy rozwiązać tylko metodami przybliżonymi.

Czy jest inny sposób rozwiązania ?

kuomi skorzystaj z takiej tożsamości trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ \tg 2x= \frac{2 \tg x}{1-\tg^2x} }\)

Jeśli wyrazisz wszystkie funkcje trygonometryczne w równaniu przez tangens połowy kąta kąta wg znanych wzorów

\(\displaystyle{ \tg x= \frac{2\tg \frac{x}{2} }{1-\tg^2 \frac{x}{2} } }\)

\(\displaystyle{ \sin x=\frac{2\tg \frac{x}{2} }{1+\tg^2 \frac{x}{2} }}\)

to Twoja nierówność przybierze formę nierówności wymiernej.

Dilectus pisze: ↑17 paź 2021, o 10:47 janusz47, załóż nowy temat i przedstaw swój problem, nie podpinaj się do innych tematów, bo Admin umieści Twój wpis w koszu.

Sugeruję nie zgadywać, co zrobi admin.

Dilectus pisze: ↑17 paź 2021, o 10:47 I przedstaw nierówność trygonometryczną, z którą się borykasz, bo sam wielomian, do którego ją sprowadziłeś, nie wystarczy.

Gdybyś uważnie czytał, to wiedziałbyś, że cały czas dyskutujemy o tej samej nierówności. A Ty nie uzasadniłeś, dlaczego Twoja wskazówka ma prowadzić do prostszej nierówności niż nierówność janusza47.

JK

Korzystając z funkcji sinus czy tangensa połowy argumentu, w każdym z tych przypadków otrzymujemy nierówność wymierną.

Rozwiązanie tych nierówności można uzyskać tylko metodami przybliżonymi lub z pomocą programu komputerowego.

Dzięki za odzew. Na pewno nie chodzi o rozwiązanie z użyciem programu komputerowego, bo to zadanie z listy na ćwiczenia i jako tako z takich udogodnień nie wolno nam korzystać. Metod przybliżonych nie braliśmy ani na studiach ani w szkole średniej, więc też wątpię by chodziło o ich zastosowanie. No chyba, że prowadzący się jakoś pomylił wpisując przykład.

Może mu się dwójka zdublowała i miało być \(\displaystyle{ \tg^{2}x+3\sin x<2}\)?

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑17 paź 2021, o 13:36 Może mu się dwójka zdublowała i miało być \(\displaystyle{ \tg^{2}x+3\sin x<2}\)?

JK

Co wcale nie ułatwia życia

No ale przynajmniej obniża stopień wielomianu...

JK