Optymalizacja f. kw. zadania

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Somefour
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 20 paź 2007, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z lasu
Podziękował: 4 razy

Optymalizacja f. kw. zadania

Post autor: Somefour » 20 paź 2007, o 13:02

Mam tutaj 4 zadania do rozwiązania, proszę o pomoc. Siedzę, męczę się nad tym i sam nie wiem co źle robie.

1) Liczbę 30 przedstaw jako sumę takich dwóch składników, aby ich iloczyn był największy.
2) Jak dobrać wymiary prostokąta o obwodzie równym 96cm, aby jego pole było największe?
3) Liczbę 1 przedstaw jako sumę takich dwóch składników, aby suma ich sześcianów była najmniejsza.
4) Drucianą siatką o długości 200m, należy ogrodzić prostokątną działkę przylegającą do ściany domu. Jakie wymiary powinna mieć działka, aby jej pole było największe?

Z góry bardzo, bardzo dziękuję
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

exupery
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 518
Rejestracja: 21 lut 2007, o 17:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kluczewsko
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 67 razy

Optymalizacja f. kw. zadania

Post autor: exupery » 20 paź 2007, o 13:43

1)
\(\displaystyle{ x-pierwsza \ liczba \\ y-druga \ liczba \\ x+y=30 \\ y=30-x \\ F(x)=x(30-x) \\ F(x)=-x^2+30x \\ \ liczysz \ wierzcholek \ ( \ punkt \ najwiekszy \ bo \ wspolczynnik \ a \ < 0 \ ). \\ \frac {-b}{2a} = \frac {-30}{-2} = 15.}\)
czyli aby iloczyn był największy x musi być równy 15.

Resztę podobnie tylko pamiętaj o dziedzinie, że np. długość nie może być ujemna.

Awatar użytkownika
magdabp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 28 paź 2006, o 23:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poland
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 29 razy

Optymalizacja f. kw. zadania

Post autor: magdabp » 20 paź 2007, o 13:45

ad 4.

\(\displaystyle{ 2a+2b=200}\)
\(\displaystyle{ a+b=100}\)
\(\displaystyle{ a=100-b}\)
\(\displaystyle{ P(b)=(100-b)\cdot b=100-b^2=-b^2+100b}\)
\(\displaystyle{ P'(b)=-2b+100}\)
\(\displaystyle{ P'(b)=0 \iff -2b+100=0}\)
\(\displaystyle{ 2b=100}\)
\(\displaystyle{ b=50}\)
\(\displaystyle{ a=50}\)
\(\displaystyle{ P=50 50=2500}\)

Awatar użytkownika
ariadna
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2702
Rejestracja: 22 maja 2005, o 22:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Olsztyn/Berlin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 642 razy

Optymalizacja f. kw. zadania

Post autor: ariadna » 20 paź 2007, o 15:50

3)
\(\displaystyle{ 1=a+b}\)
\(\displaystyle{ a=1-b}\)
Suma sześcianów;
\(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}=(1-b)^{3}+b^{3}=1-3b+3b^{2}=f(b)}\)
Ta funkcja osiaga mininmum dla:
\(\displaystyle{ p=\frac{-b}{2a}=\frac{1}{2}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ a=b=\frac{1}{2}}\)

Somefour
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 20 paź 2007, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z lasu
Podziękował: 4 razy

Optymalizacja f. kw. zadania

Post autor: Somefour » 20 paź 2007, o 17:07

Dzięki wam, załapałem nawet o co chodzi. Punkt drugi już sam dam rade zrobić.

magdabp, nie jestem pewien, ale chyba przeoczyłaś jeden element. Dokładnie to że jedna ze ścian przylega do domu, a wiec nie zużywa się siatki na tę jedną ścianę.

ODPOWIEDZ