Matematyka.pl

Udowodnij: \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\) dla \(\displaystyle{ n\in \NN.}\)
Moje pytanie dotyczy pierwszej części dowodu indukcyjnego, wybieram sobie najmniejsze \(\displaystyle{ n_0=1}\) i sprawdzam czy wszystko się zgadza.
\(\displaystyle{ \left| \sin x\right| \le \left| \sin x\right| }\) wszystko się zgadza więc przechodzę do założeń indukcyjnych: Dla \(\displaystyle{ n \le 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\)

Czy wszystko w tej części jest okej?

gr4vity pisze: 14 paź 2021, o 23:18 Udowodnij: \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\) dla \(\displaystyle{ n\in \NN.}\)
Moje pytanie dotyczy pierwszej części dowodu indukcyjnego, wybieram sobie najmniejsze \(\displaystyle{ n_0=1}\)

Dla \(\displaystyle{ n_0=0}\) też działa. Więc raczej nie wybierasz tylko sprawdzasz to co trzeba.

gr4vity pisze: 14 paź 2021, o 23:18 Dla \(\displaystyle{ n \le 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\)

W takim razie koniec dowodu. Bo to miałeś pokazać?

Pomyliłem się w założeniu indukcyjnym powinno być: Dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\)
W dalszej części powinienem udowodnić tezę: \(\displaystyle{ \left|\sin((n+1)x)\right| \le (n+1)\left| \sin x \right|}\)
Natomiast to już potrafię.
Moje pytanie dotyczy tego, że na ćwiczeniach prowadzący mówił, że wybieramy najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) umówiliśmy się, że \(\displaystyle{ 0}\) nie należy do naturalnych.

To w takim razie jest okej?

gr4vity pisze: 14 paź 2021, o 23:27 Pomyliłem się w założeniu indukcyjnym powinno być: Dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\)

Założenie indukcyjne mówi, że dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\), zaś teza indukcyjna stanowi, że właśnie dla tego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left|\sin((n+1)x)\right| \le (n+1)\left| \sin x \right|.}\)

JK

Rozumiem, pytam dlatego ponieważ spotkałem się z twierdzeniem, że w tym przykładzie mogę mieć błąd ponieważ: ,,wykazałeś dla \(\displaystyle{ n=1}\) równość a nie porządek, indukcja w tym przypadku pracuje dopiero od \(\displaystyle{ n_0=2}\)" i chciałem to skonsultować z kimś.... czyli ostatecznie mam rozumieć, że ten początek dowodu jest w porządku?

Dla \(\displaystyle{ n_0=1}\)
\(\displaystyle{ \left| \sin x\right| \le \left| \sin x\right| }\) (prawda)
Zał indukcyjne: Dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\)

gr4vity pisze: 15 paź 2021, o 01:11Rozumiem, pytam dlatego ponieważ spotkałem się z twierdzeniem, że w tym przykładzie mogę mieć błąd ponieważ: ,,wykazałeś dla \(\displaystyle{ n=1}\) równość a nie porządek, indukcja w tym przypadku pracuje dopiero od \(\displaystyle{ n_0=2}\)"

Bzdura. Skoro pokazałeś, że jest równe, to tym bardziej jest mniejsze lub równe.

gr4vity pisze: 15 paź 2021, o 01:11 Zał indukcyjne: Dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\)

A za takie sformułowanie założenia indukcyjnego to gonię - to nie jest założenie indukcyjne, tylko założenie tezy zadania.

JK

Dziękuję za odpowiedź, jak zatem dla tego zadania wygląda założenie indukcyjne, jak to poprawnie sformułować?

gr4vity pisze: 15 paź 2021, o 01:26 Dziękuję za odpowiedź, jak zatem dla tego zadania wygląda założenie indukcyjne, jak to poprawnie sformułować?

Przecież Ci napisałem:

Jan Kraszewski pisze: 15 paź 2021, o 00:38Założenie indukcyjne mówi, że dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\), zaś teza indukcyjna stanowi, że właśnie dla tego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left|\sin((n+1)x)\right| \le (n+1)\left| \sin x \right|.}\)

Można więc napisać np. tak:
Ustalmy dowolne naturalne \(\displaystyle{ n \ge 1}\), dla którego zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left|\sin(nx)\right| \le n\left| \sin x \right| }\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ \left|\sin((n+1)x)\right| \le (n+1)\left| \sin x \right|.}\) Mamy... itd.

JK

Dziękuję pięknie za poświęcony czas!