Matematyka.pl

Pomógłby ktoś rozwiązać takie zadanie:
\(\displaystyle{ NWW (x,y)=320}\)
\(\displaystyle{ NWD (x,y)=16}\)
Znajdź \(\displaystyle{ x,y}\).

\(\displaystyle{ 320=16 \cdot 4 \cdot 5}\)
Szukaną parą są liczby: \(\displaystyle{ 16 \cdot 4}\) i \(\displaystyle{ 16 \cdot 5}\).

Dlaczego \(\displaystyle{ 20 }\) została rozbita akurat na \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 5}\)?

Drugą parą jest 16 i 320

Ale największym wspólnym dzielnikiem 16 i 320 nie jest 32(?)

Fakt, nie jest. \(\displaystyle{ NWD(16,320)=16}\) zgodnie z treścią zadania.

Jeżeli rozpiszesz rozkłady na czynniki pierwsze liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), to \(\displaystyle{ \text{NWD}\,(x,y)}\) jest iloczynem tych czynników, które powtarzają się w obu rozkładach, a \(\displaystyle{ \text{NWW}\,(x,y)}\) jest iloczynem \(\displaystyle{ \text{NWD}\,(x,y)}\) oraz tych czynników, którymi te rozkłady się różnią.

Czyli jeśli \(\displaystyle{ x=a\cdot \text{NWD}\,(x,y)}\) i \(\displaystyle{ y=b\cdot \text{NWD}\,(x,y)}\), to \(\displaystyle{ \text{NWW}(x,y)=a\cdot b\cdot \text{NWD}\,(x,y)}\) i \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze.

Stąd dla Twoich danych masz \(\displaystyle{ 320=a\cdot b\cdot 16}\), skąd \(\displaystyle{ a\cdot b=20}\). Teraz musisz zastanowić się, jak można przedstawić \(\displaystyle{ 20}\) jako iloczyn dwóch liczb względnie pierwszych. Są dwie możliwości: \(\displaystyle{ 1\cdot 20=20}\) i \(\displaystyle{ 4\cdot 5=20}\).

JK

Dla dowolnych liczb naturalnych zachodzi równość

\(\displaystyle{ NWW(x, y)\cdot NWD(x, y) = x\cdot y. }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\cdot y = 5120 \\ NWD (x,y) = 320 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x\cdot y = 5120 \\ NWW (x,y) = 16 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ x = 16 \cdot k , \ \ y = 16 \cdot l, \ \ k,l \in \NN, \ \ NWW(k, l ) = 1. }\)

\(\displaystyle{ 16\cdot k \cdot 16 \cdot l = 5120 }\)

\(\displaystyle{ k\cdot l = 20 }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} k = 1 \\ l = 20 \end{cases}, \ \ \begin{cases} k = 4 \\ l = 5 \end{cases}, \ \ \begin{cases} k = 5 \\ l = 4 \end{cases}, \ \ \begin{cases} k = 20 \\ l = 1 \end{cases}. }\)