Wyznaczyć wzór opisujący normę
: 14 paź 2021, o 15:27
W \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) dany jest pewien iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \langle , \rangle}\). Definiujemy normę \(\displaystyle{ \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}}\). Wiadomo, że
\(\displaystyle{ \sup_{x \in \mathbb{R}^2} \frac{\|x\|_2}{\|x\|} = 3}\), \(\displaystyle{ \inf_{x \in \mathbb{R}^2} \frac{\|x\|_2}{\|x\|} = 1}\), \(\displaystyle{ \|(1,2)\| = \frac{\sqrt{5}}{3}}\), \(\displaystyle{ \|(-2,1)\| = \sqrt{5}}\)
Wyznaczyć wzór opisujący normę \(\displaystyle{ \|(x,y)\|}\).
Rozwiązanie polega na wzięciu macierzy tego iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ A}\). Ostatnie dwie równości dają nam dwa równania wiążące niektóre z komórek macierzy. Jak natomiast wykorzystać pierwsze dwie równości? Podobno da się z nich wywnioskować, ile wynoszą wartości własne \(\displaystyle{ A}\), ale nie mam bladego pojęcia jak to zrobić.
\(\displaystyle{ \sup_{x \in \mathbb{R}^2} \frac{\|x\|_2}{\|x\|} = 3}\), \(\displaystyle{ \inf_{x \in \mathbb{R}^2} \frac{\|x\|_2}{\|x\|} = 1}\), \(\displaystyle{ \|(1,2)\| = \frac{\sqrt{5}}{3}}\), \(\displaystyle{ \|(-2,1)\| = \sqrt{5}}\)
Wyznaczyć wzór opisujący normę \(\displaystyle{ \|(x,y)\|}\).
Rozwiązanie polega na wzięciu macierzy tego iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ A}\). Ostatnie dwie równości dają nam dwa równania wiążące niektóre z komórek macierzy. Jak natomiast wykorzystać pierwsze dwie równości? Podobno da się z nich wywnioskować, ile wynoszą wartości własne \(\displaystyle{ A}\), ale nie mam bladego pojęcia jak to zrobić.