Matematyka.pl

Jeśli \(\displaystyle{ p }\) jest liczbą pierwszą Sophie Germain, tj. taką, że \(\displaystyle{ 2p+1}\) też jest pierwsza; to dla \(\displaystyle{ n=4p}\) :
(*) \(\displaystyle{ \phi(n+2)= \phi(n)+ 2}\).
Na odwrót jeśli (*) to czy wtedy \(\displaystyle{ n}\) jest jak powyżej.
Jeśli nie to wskazać inne rozwiązania (*).

Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą Sophie Germain. Wówczas \(\displaystyle{ 4p + 2 = 2(2p+1)}\) ma dwa dzielniki pierwsze, bo \(\displaystyle{ 2p+1}\) jest pierwsza.

\(\displaystyle{ \phi(4p + 2) = (4p+2) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2p}{2p+1} = 2p.}\)

Natomiast liczba \(\displaystyle{ 4p}\) ma rozkład \(\displaystyle{ 2^2 \cdot p.}\)

\(\displaystyle{ \phi(4p) = 4p \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{p-1}{p} = 2(p-1) = 2p - 2.}\)

Odejmując równania stronami otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \phi(4p+2) - \phi(4p) = 2}\)

\(\displaystyle{ \phi(4p+2) = \phi(4p) + 2.}\)

Koniec pierwszej części zadania.


W drugiej części wystarczy zauważyć \(\displaystyle{ \phi(7) = \phi(5) + 2.}\)
Po tym przykładzie odpowiedź na kolejne pytania narzuca się sama: Innymi rozwiązaniami tego równania są liczby pierwsze bliźniacze.