Matematyka.pl

W podręczniku Kurczabów pojawił się przykład nierówności:

\(\displaystyle{ \cos x + \cos^{2}x + \cos^{3}x+\cos^{4}x+... \ge 1 }\)

Rozwiązując tę nierówność, traktują lewą stronę jak szereg geometryczny o wyrazie początkowym i ilorazie \(\displaystyle{ a_{1} =\cos x}\), \(\displaystyle{ q=\cos x}\). Wówczas szereg ten jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ |q| < 1}\), zatem gdy \(\displaystyle{ |\cos x|<1}\), więc, \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \left\{ x: x=k\pi, k \in C\right\} }\).

A ja chciałbym zapytać, co stoi na przeszkodzie, żeby ten szereg był rozbieżny do \(\displaystyle{ + \infty}\), czyli żeby dołączyć do dziedziny \(\displaystyle{ 2k \pi }\). Wówczas po lewej stronie byłaby suma jedynek.


Pozdrawiam.

Poczytaj temat z moją niewiedzą :
Nierówność logarytmiczna z ciągiem

Dzięki! Trochę mało wyrozumiałości ci okazali, bo to nie jest wcale takie oczywiste. Intuicyjnie lewa strona powinna być większa. No ale rozumiem. Czyli po prostu nie można wówczas porównać obu stron, bo suma po lewej nie istnieje.

A co za problem, żeby się matematycznie umówić, że w takich sytuacjach też można porównywać?
Jakie to jest przykre :/

To jednak nie przeczytałeś uważnie linku, który podal piasek101, albo nie zrozumiałeś o czym tam pisaliśmy

Wydaje mi się, że przeczytałem z uwagą. Dlaczego sądzisz inaczej?

"Szereg nie jest dla nich zbieżny, więc wyrażenie po lewej stronie nie ma sensu."

"Oczywiście, że te zapisy są niepoprawne, bo lewe strony tych nierówności nic nie oznaczają. Wytłumaczenie jest proste: wpadasz w pułapkę wielokropka."

"W zapisie \(\displaystyle{ \sum_{}^{}}\) , aby miał jakikolwiek sens, lewa strona musi oznaczać SUMĘ szeregu, a w tym przypadku ta suma nie istnieje."

"Odpowiedź już była - wtedy nie ma żadnej nierówności. Bo żeby można było pytać o prawdziwość nierówności, to musisz mieć NAJPIERW dwie dobrze zdefiniowane liczby, a dopiero POTEM możesz zadać pytanie o nierówność pomiędzy nimi."


"Suma nieskończonego niezbieżnego szeregu geometrycznego" nie istnieje."

"A skoro nie istnieje (moje braki) to po problemie."