Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem
: 22 wrz 2021, o 17:15
mam pytanie czy mając równanie wielomianowe z parametrem ( ogólnie to wiem jak bezbłędnie rozwiązać i nie mam z tym problemu lecz znalazłem taką problematykę ), jeśli mamy polecenie do zadania, typu dla jakich wartości parametru równanie ma 3 rozwiązania ( i nie jest napisane że różne, lecz autor zadań czyli Oficyna OE Pazdro, w rzeczywistości ( w domyśle ) zakłada że są różne co mówią odpowiedzi z tyłu książki ), tak więc warunki dla np takiego równania gdzie powiedzmy wielomian można zapisać w np takiej postaci ( wymyśliłem to równanie ) \(\displaystyle{ x^3+(m-1)x^2+(2m^2-3m+4)x }\), co jest równe \(\displaystyle{ x(x^2+(m-1)x+2m^2-3m+4)}\), stąd więc mamy zawsze jedno rozwiązanie równe \(\displaystyle{ x = 0 }\) dla \(\displaystyle{ m \in \RR }\) lecz najpierw zakładając tak jak autor zadania miał na myśli że rozwiązania mają być różne to
1. przypadek ( gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) jest tym równaniem kwadratowym )
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0)≠0 }\),
czyli równanie początkowe ma jedno rozwiązanie oraz w rozkładzie na czynniki równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania i żadne z nich nie jest równe \(\displaystyle{ 0}\) zatem łącznie równanie (1) ma 3 różne rozwiązania
I to by było na tyle gdyby równanie miało mieć 3 "różne" rozwiązania, aczkolwiek jeśli się przyczepić że nie muszę być równe bo nie dopisał tego autor zadania ( w zbiorach Pazdro jest tak zarówno dla zadań kwadratowych jak i wielomianowych z parametrem ), to równanie kwadratowe może mieć jeszcze jedno rozwiązanie dwukrotne równe 0, bądź różne od 0, albo dwa różne rozwiązania z czego jedno jest równe \(\displaystyle{ 0}\) - zatem tak samo jak dla równań kwadratowych z parametrem, jeśli nie ma słowa różne to delta może być \(\displaystyle{ ∆=0}\) lub \(\displaystyle{ ∆> 0}\).
Tak więc dochodzą kolejne trzy przypadki
2. Przypadek
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) ≠ 0 }\), tutaj równanie będzie miało pierwiastek \(\displaystyle{ 0}\) jednokrotny oraz jakiś pierwiastek dwukrotny
3. Gdy równanie \(\displaystyle{ f(x)}\) ma pierwiastek dwukrotny to łącznie całe równanie ma jeden pierwiastek ale trzykrotny, tak więc trzy rozwiązania(?)
Zatem
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0}\), równanie będzie miało pierwiastek 0 trzykrotny
I przypadek 4.
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0 }\)
Czy może się mylę?
Pytam gdyż mój nauczyciel twierdzi że równanie zawsze ma różne rozwiązania w takich zadaniach.
*#* Ps: natomiast jeśli mielibyśmy rozważyć kiedy takie równanie ma dwa rozwiązania no to wtedy są tylko dwa przypadki, ze względu gdy są różne rozwiązania
Tzn 1.
Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie dwukrotne z czego jest ono różne od 0
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) ≠ 0 }\)
Oraz 2 przypadek
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0 }\), oraz jeszcze przypadek gdy nie muszą być one różne,
czyli jedno rozwiązanie się pokrywa, stąd wynika że odnośnie równań wielomianowych z parametrem które mają mieć 3 rozwiązania niekoniecznie różne, to przypadek 2,3 i 4 nie zachodzi? Gdyż wtedy patrząc na zadanie drugie *#*( z dwoma rozwiązaniami ) mamy jakby w 2 przypadku dwa rozwiązania różne, w 3. pierwiastek 3 kr. zatem jedno rozwiązanie a miały być trzy oraz w 4. dwa rozwiązania z czego jedno dwukrotne a drugie jednokrotne?
Jeśli się nigdzie nie pomyliłem.
Dodano po 48 minutach 2 sekundach:
Przepraszam że nie zamieniłem symbolu funkcji na LaTeX Panie Janie Kraszewski.
Cytując jeszcze odnośnie tego "czyli jedno rozwiązanie się pokrywa, stąd wynika że odnośnie (...) rozwiązania z czego jedno dwukrotne a drugie jednokrotne?"
To chyba że tutaj powinno się to tak rozumieć że jeśli równanie ma np w tym trzecim przypadku: 3. Jeden pierwiastek trzykrotny, zatem ma faktycznie te 3 wymagane rozwiązania lecz po prostu nie są różne i jest to poprawne czy jednak jest to po prostu jedno rozwiązanie, tak samo jak byśmy mieli mieć 3 rozwiązania i z warunku wynikałoby że jest pierwiastek 0 oraz z równania kwadratowego 0 i na przykład 2, to są to trzy rozwiązania, lecz dwa różne?
1. przypadek ( gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) jest tym równaniem kwadratowym )
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0)≠0 }\),
czyli równanie początkowe ma jedno rozwiązanie oraz w rozkładzie na czynniki równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania i żadne z nich nie jest równe \(\displaystyle{ 0}\) zatem łącznie równanie (1) ma 3 różne rozwiązania
I to by było na tyle gdyby równanie miało mieć 3 "różne" rozwiązania, aczkolwiek jeśli się przyczepić że nie muszę być równe bo nie dopisał tego autor zadania ( w zbiorach Pazdro jest tak zarówno dla zadań kwadratowych jak i wielomianowych z parametrem ), to równanie kwadratowe może mieć jeszcze jedno rozwiązanie dwukrotne równe 0, bądź różne od 0, albo dwa różne rozwiązania z czego jedno jest równe \(\displaystyle{ 0}\) - zatem tak samo jak dla równań kwadratowych z parametrem, jeśli nie ma słowa różne to delta może być \(\displaystyle{ ∆=0}\) lub \(\displaystyle{ ∆> 0}\).
Tak więc dochodzą kolejne trzy przypadki
2. Przypadek
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) ≠ 0 }\), tutaj równanie będzie miało pierwiastek \(\displaystyle{ 0}\) jednokrotny oraz jakiś pierwiastek dwukrotny
3. Gdy równanie \(\displaystyle{ f(x)}\) ma pierwiastek dwukrotny to łącznie całe równanie ma jeden pierwiastek ale trzykrotny, tak więc trzy rozwiązania(?)
Zatem
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0}\), równanie będzie miało pierwiastek 0 trzykrotny
I przypadek 4.
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0 }\)
Czy może się mylę?
Pytam gdyż mój nauczyciel twierdzi że równanie zawsze ma różne rozwiązania w takich zadaniach.
*#* Ps: natomiast jeśli mielibyśmy rozważyć kiedy takie równanie ma dwa rozwiązania no to wtedy są tylko dwa przypadki, ze względu gdy są różne rozwiązania
Tzn 1.
Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie dwukrotne z czego jest ono różne od 0
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) ≠ 0 }\)
Oraz 2 przypadek
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0 }\), oraz jeszcze przypadek gdy nie muszą być one różne,
czyli jedno rozwiązanie się pokrywa, stąd wynika że odnośnie równań wielomianowych z parametrem które mają mieć 3 rozwiązania niekoniecznie różne, to przypadek 2,3 i 4 nie zachodzi? Gdyż wtedy patrząc na zadanie drugie *#*( z dwoma rozwiązaniami ) mamy jakby w 2 przypadku dwa rozwiązania różne, w 3. pierwiastek 3 kr. zatem jedno rozwiązanie a miały być trzy oraz w 4. dwa rozwiązania z czego jedno dwukrotne a drugie jednokrotne?
Jeśli się nigdzie nie pomyliłem.
Dodano po 48 minutach 2 sekundach:
Przepraszam że nie zamieniłem symbolu funkcji na LaTeX Panie Janie Kraszewski.
Cytując jeszcze odnośnie tego "czyli jedno rozwiązanie się pokrywa, stąd wynika że odnośnie (...) rozwiązania z czego jedno dwukrotne a drugie jednokrotne?"
To chyba że tutaj powinno się to tak rozumieć że jeśli równanie ma np w tym trzecim przypadku: 3. Jeden pierwiastek trzykrotny, zatem ma faktycznie te 3 wymagane rozwiązania lecz po prostu nie są różne i jest to poprawne czy jednak jest to po prostu jedno rozwiązanie, tak samo jak byśmy mieli mieć 3 rozwiązania i z warunku wynikałoby że jest pierwiastek 0 oraz z równania kwadratowego 0 i na przykład 2, to są to trzy rozwiązania, lecz dwa różne?