Definicja wartości bezwzględnej
: 20 wrz 2021, o 23:00
Mam pytanie odnośnie metody przedziałowej w rozwiązywaniu równań z wartością bezwzględną ( zapisując nad osią wartości wyrażeń: \(\displaystyle{ -}\) albo \(\displaystyle{ +}\) pod wartością bezwzględną ) np. postaci \(\displaystyle{ |3-x|-|x+5| = 0}\) ( dajmy na to że po prawej stronie równania jest \(\displaystyle{ 0}\), wymyśliłem takie równanie ), wiem ogólnie jak to rozwiązać poprawnie, tylko doszedłem do takiej problematyki:
gdy zapiszemy miejsca zerowe \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ -5}\) tych wyrażeń pod wartością bezwzględną to dzielą nam one oś na trzy przedział - i tutaj można zrobić pierwszy przedział
np. \(\displaystyle{ x \in (-\infty,-5)}\) oraz drugi \(\displaystyle{ x\in\langle-5,3)}\) oraz trzeci \(\displaystyle{ x\in\langle3,+\infty)}\), aczkolwiek można to też zapisać manipulując granicznymi \(\displaystyle{ x}\) tzn dzieląc oś na przedziały gdzie np w pierwszym przedziale
\(\displaystyle{ x \in (-\infty,-5\rangle}\), potem drugi przedział \(\displaystyle{ x \in (-5,3)}\) i trzeci \(\displaystyle{ x \in\langle3,+\infty)}\),
ale też można to zapisać jako \(\displaystyle{ x \in (-\infty,-5\rangle}\), potem drugi przedział \(\displaystyle{ x \in (-5,3\rangle}\) i trzeci \(\displaystyle{ x \in(3,+∞)}\), no i w każdym przypadku wyjdzie poprawne rozwiązanie należące do którejś dziedziny z danego przedziału - bo (chyba) zawsze tak jest że jeśli np na pierwszego przedziału wyszedłby załóżmy \(\displaystyle{ x = -5}\) i jeszcze jakiś ale to mało istotne, bo chodzi mi o \(\displaystyle{ x}\) graniczne dla tych przedziałów, a przedział jest otwarty \(\displaystyle{ x \in (-\infty,-5)}\) to dla drugiego przedziału akurat to rozwiązanie się powtórzy, a skoro też przedział jest domknięty np. \(\displaystyle{ \langle-5,3)}\) no to znaleźliśmy rozwiązanie i tak samo może być z drugą wartością bezwzględną.
A dzieje się tak dlatego że np. \(\displaystyle{ |3-x| = |-(x-3)| = |x-3|}\)? a tutaj gdy rozpiszemy to z definicji wartości bezwzględnej, to otrzymamy
\(\displaystyle{ |3-x| = \begin{cases} 3-x &\text{dla } x ≤ 3 \\ x-3 &\text{dla } x > 3 \end{cases}}\)
oraz
\(\displaystyle{ |x-3| = \begin{cases} x-3 &\text{dla } x ≥ 3 \\ -x+3 &\text{dla } x < 3 \end{cases}}\)
tak więc stąd też nasuwa się wniosek, że dlatego to nie ma znaczenia jak domkniemy przedziały bo dla \(\displaystyle{ |3-x|}\) byłby przedział domknięty dla \(\displaystyle{ x \in (-5,3\rangle}\) natomiast dla \(\displaystyle{ |x-3|}\) byłby \(\displaystyle{ x \in (-5,3)}\) bo \(\displaystyle{ x < 3}\), a stąd znów narzuca się wniosek, że wartość bezwzględną z definicji można zapisać jako
\(\displaystyle{ |x| = \begin{cases} x &\text{dla } x ≥ 0 \\ -x &\text{dla } x < 0 \end{cases}}\)
ale też
\(\displaystyle{ |x| =\begin{cases} x &\text{dla } x > 0 \\ -x &\text{dla } x ≤ 0 \end{cases}}\)
a żeby to potwierdzić to mając równanie do rozwiązania
\(\displaystyle{ |x|=x \hbox{ dla } x\geqslant 0}\) , natomiast dla \(\displaystyle{ |x|= -x \hbox{ dla } x\leqslant
0}\) , więc wartość równa \(\displaystyle{ 0}\) może być przyporządkowana zarówno do pierwszego jak i drugiego przypadku.
Lecz wszędzie przyjęło się, że \(\displaystyle{ |x|=x \hbox{ dla } x\geqslant 0}\), tak?
gdy zapiszemy miejsca zerowe \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ -5}\) tych wyrażeń pod wartością bezwzględną to dzielą nam one oś na trzy przedział - i tutaj można zrobić pierwszy przedział
np. \(\displaystyle{ x \in (-\infty,-5)}\) oraz drugi \(\displaystyle{ x\in\langle-5,3)}\) oraz trzeci \(\displaystyle{ x\in\langle3,+\infty)}\), aczkolwiek można to też zapisać manipulując granicznymi \(\displaystyle{ x}\) tzn dzieląc oś na przedziały gdzie np w pierwszym przedziale
\(\displaystyle{ x \in (-\infty,-5\rangle}\), potem drugi przedział \(\displaystyle{ x \in (-5,3)}\) i trzeci \(\displaystyle{ x \in\langle3,+\infty)}\),
ale też można to zapisać jako \(\displaystyle{ x \in (-\infty,-5\rangle}\), potem drugi przedział \(\displaystyle{ x \in (-5,3\rangle}\) i trzeci \(\displaystyle{ x \in(3,+∞)}\), no i w każdym przypadku wyjdzie poprawne rozwiązanie należące do którejś dziedziny z danego przedziału - bo (chyba) zawsze tak jest że jeśli np na pierwszego przedziału wyszedłby załóżmy \(\displaystyle{ x = -5}\) i jeszcze jakiś ale to mało istotne, bo chodzi mi o \(\displaystyle{ x}\) graniczne dla tych przedziałów, a przedział jest otwarty \(\displaystyle{ x \in (-\infty,-5)}\) to dla drugiego przedziału akurat to rozwiązanie się powtórzy, a skoro też przedział jest domknięty np. \(\displaystyle{ \langle-5,3)}\) no to znaleźliśmy rozwiązanie i tak samo może być z drugą wartością bezwzględną.
A dzieje się tak dlatego że np. \(\displaystyle{ |3-x| = |-(x-3)| = |x-3|}\)? a tutaj gdy rozpiszemy to z definicji wartości bezwzględnej, to otrzymamy
\(\displaystyle{ |3-x| = \begin{cases} 3-x &\text{dla } x ≤ 3 \\ x-3 &\text{dla } x > 3 \end{cases}}\)
oraz
\(\displaystyle{ |x-3| = \begin{cases} x-3 &\text{dla } x ≥ 3 \\ -x+3 &\text{dla } x < 3 \end{cases}}\)
tak więc stąd też nasuwa się wniosek, że dlatego to nie ma znaczenia jak domkniemy przedziały bo dla \(\displaystyle{ |3-x|}\) byłby przedział domknięty dla \(\displaystyle{ x \in (-5,3\rangle}\) natomiast dla \(\displaystyle{ |x-3|}\) byłby \(\displaystyle{ x \in (-5,3)}\) bo \(\displaystyle{ x < 3}\), a stąd znów narzuca się wniosek, że wartość bezwzględną z definicji można zapisać jako
\(\displaystyle{ |x| = \begin{cases} x &\text{dla } x ≥ 0 \\ -x &\text{dla } x < 0 \end{cases}}\)
ale też
\(\displaystyle{ |x| =\begin{cases} x &\text{dla } x > 0 \\ -x &\text{dla } x ≤ 0 \end{cases}}\)
a żeby to potwierdzić to mając równanie do rozwiązania
\(\displaystyle{ |x|=x \hbox{ dla } x\geqslant 0}\) , natomiast dla \(\displaystyle{ |x|= -x \hbox{ dla } x\leqslant
0}\) , więc wartość równa \(\displaystyle{ 0}\) może być przyporządkowana zarówno do pierwszego jak i drugiego przypadku.
Lecz wszędzie przyjęło się, że \(\displaystyle{ |x|=x \hbox{ dla } x\geqslant 0}\), tak?