wyznaczniki macierzy
: 19 wrz 2021, o 13:00
Polecenie brzmi:
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą odwracalną wymiaru \(\displaystyle{ 3×3}\). Ile jest równy wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 5A ^{-1} }\), jeżeli wiemy, że wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest równy \(\displaystyle{ 5}\)?
Skorzystałem z własności, że wyznacznik macierz \(\displaystyle{ \det A = \det A ^{-1}}\), a następnie pomnożyłem wynik przez 5. I to jest wynik poprawny(tak wynika z odpowiedzi). Moje pytanie brzmi czy poprawne byłoby również skorzystanie z takiej własności, że mnożąc każdy wiersz przez \(\displaystyle{ 5}\) za każdym razem mnożymy jej wyznacznik o tą liczbę. Czyli wynik byłby \(\displaystyle{ 625}\).
Ta druga odpowiedź nasunęła mi się po zrobieniu bardzo podobnego zadania, w którym właśnie trzeba było pomnożyć każdy wiersz, aby otrzymać prawidłowy wynik:
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą \(\displaystyle{ 3×3}\), której wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ 3}\). Ile jest równy wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 2B}\), przy czym macierz \(\displaystyle{ B}\) powstała z macierzy \(\displaystyle{ A}\) przez zamianę miejscami wiersza pierwszego i trzeciego.
Tutaj skorzystałem z własności, że jak zamieniamy wiersze ze sobą to zmienia się znak wyznacznika, więc \(\displaystyle{ \det B=-3}\). Następnie pomnożyłem każdy wiersz przez \(\displaystyle{ 2}\)(było ich trzy, więc za każdym razem mnożyłem wyznacznik przez \(\displaystyle{ 2}\)) przez co wyznacznik wyszedł \(\displaystyle{ -24}\)(i to również jest prawidłowa odpowiedź).
A więc dlaczego w tym drugim zadaniu nie mogłem po prostu pomnożyć tak ja w pierwszym, czyli \(\displaystyle{ 2B}\), a więc \(\displaystyle{ 2\cdot (-3)}\), czyli wynik byłby \(\displaystyle{ -6}\)?
Mam nadzieję, że dobrze udało mi się przedstawić mój problem.
Byłbym bardzo wdzięczny za każdą wskazówkę:)
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą odwracalną wymiaru \(\displaystyle{ 3×3}\). Ile jest równy wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 5A ^{-1} }\), jeżeli wiemy, że wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest równy \(\displaystyle{ 5}\)?
Skorzystałem z własności, że wyznacznik macierz \(\displaystyle{ \det A = \det A ^{-1}}\), a następnie pomnożyłem wynik przez 5. I to jest wynik poprawny(tak wynika z odpowiedzi). Moje pytanie brzmi czy poprawne byłoby również skorzystanie z takiej własności, że mnożąc każdy wiersz przez \(\displaystyle{ 5}\) za każdym razem mnożymy jej wyznacznik o tą liczbę. Czyli wynik byłby \(\displaystyle{ 625}\).
Ta druga odpowiedź nasunęła mi się po zrobieniu bardzo podobnego zadania, w którym właśnie trzeba było pomnożyć każdy wiersz, aby otrzymać prawidłowy wynik:
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą \(\displaystyle{ 3×3}\), której wyznacznik wynosi \(\displaystyle{ 3}\). Ile jest równy wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 2B}\), przy czym macierz \(\displaystyle{ B}\) powstała z macierzy \(\displaystyle{ A}\) przez zamianę miejscami wiersza pierwszego i trzeciego.
Tutaj skorzystałem z własności, że jak zamieniamy wiersze ze sobą to zmienia się znak wyznacznika, więc \(\displaystyle{ \det B=-3}\). Następnie pomnożyłem każdy wiersz przez \(\displaystyle{ 2}\)(było ich trzy, więc za każdym razem mnożyłem wyznacznik przez \(\displaystyle{ 2}\)) przez co wyznacznik wyszedł \(\displaystyle{ -24}\)(i to również jest prawidłowa odpowiedź).
A więc dlaczego w tym drugim zadaniu nie mogłem po prostu pomnożyć tak ja w pierwszym, czyli \(\displaystyle{ 2B}\), a więc \(\displaystyle{ 2\cdot (-3)}\), czyli wynik byłby \(\displaystyle{ -6}\)?
Mam nadzieję, że dobrze udało mi się przedstawić mój problem.
Byłbym bardzo wdzięczny za każdą wskazówkę:)