Matematyka.pl

Cześć wszystkim, otóż mam problem z oto takim zadaniem:

Ile rozwiązań ma równie zespolone \(\displaystyle{ z ^{8} = \overline{z} w ^{9} }\), przy czym \(\displaystyle{ w }\) jest liczbą zespoloną o module 2?

Idąc dalej, zamieniam to na postać wykładniczą i dostaje:

\(\displaystyle{ r ^{8}e ^{8 \alpha i} = re ^{- \alpha i}512e ^{9 \alpha i} }\)

Przyrównując \(\displaystyle{ r}\) oraz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) po lewej i prawej stronie otrzymuje, że \(\displaystyle{ r = 0 \vee r = \sqrt[7]{512} }\) oraz kąt \(\displaystyle{ \alpha : 0=0}\).

Teoretycznie wychodzi nieskończenie wiele rozwiązań, ale gdzieś musiałem zrobić błąd, gdyż w odpowiedziach jest, że to równanie ma dziesięć rozwiązań.

Byłbym bardzo wdzięczny za jakieś podpowiedzi gdzie mogłem się pomylić.

Jakoś dziwnie znajome jest to zadanie.

\(\displaystyle{ r ^{8}e ^{8 \alpha i} = re ^{- \alpha i}512e ^{9 \beta i} \cdot 1 }\)
1)
\(\displaystyle{ r=0}\)
2)
\(\displaystyle{ r \neq 0 \\
r ^{7}e ^{9 \alpha i} = 512e ^{9 \beta i} \cdot e^{ik2 \pi } \\
\sqrt[9]{r ^{7}}e ^{\alpha i} = 2e ^{ \beta i} \cdot e^{ik \frac{2 \pi }{9} }
}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt[7]{512} }\) oraz kąt \(\displaystyle{ \alpha = \beta +k \frac{2 \pi }{9}}\).