To równanie ma pierwiastek
\(\displaystyle{ x_1=-\sqrt[3]{\frac{2}{3(9-\sqrt{69})}}-\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2}(9-\sqrt{69})}}{3^{\frac{2}{3}}}}\)
Przepisałem z Wolframa i sam w życiu bym go nie odgadł, ale najprawdopodobniej wzory Cardano pozwoliłyby na jego wyznaczenie. Znając jeden pierwiastek wielomianu można wykonać dzielenie przez przez
\(\displaystyle{ (x-x_1)}\) i w rezultacie otrzymamy wielomian stopnia 2, który można zbadać za pomocą delty (w tym przypadku delta będzie ujemna, wywnioskowałem to z Wolframa).
PR713 pisze: ↑13 wrz 2021, o 15:34
a czy można wyznaczyć to miejsce zerowe używając pochodnej, ponieważ nie brałem tego jeszcze w szkole?
Użycie pochodnej niewiele tutaj pomaga.
Oraz mam pytanie czy może być takie równanie bądź nierówność wielomianowa której nie da się rozwiązać?
Zależy co rozumiemy przez rozwiązanie. Mamy twierdzenie, że każdy wielomian (o współczynnikach rzeczywistych) da się zapisać jako iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego. W praktyce możliwa jest sytuacja, że mamy wielomian (np. 5-tego stopnia) i owszem da się go zapisać (zgodnie ze wspomnianym twierdzeniem) na przykład tak
\(\displaystyle{ W(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x^2+bx+c)}\)
jednak liczby
\(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3,b,c}\) są niemożliwe do zapisania za pomocą nazwijmy to "jawnego wzoru". Innymi słowy te liczby są, ale w praktyce wyznaczalne jedynie w przybliżeniu.
Dodam jeszcze, że często nawet jeśli szukanie dokładnych pierwiastków wielomianu jest możliwe, to jest tak żmudne, że znajduje się jedynie ich przybliżenia metodami numerycznymi. Mam na myśli oczywiście zastosowania np. w informatyce.
