Trójkąt prostokątny równoramienny.

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
dawido000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 278
Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy

Trójkąt prostokątny równoramienny.

Post autor: dawido000 » 20 paź 2007, o 08:47

Trójkąt prostokątny równoramienny T, o przyprostokątnej długości 5 cm, obrócono wokół wierzchołka kąta prostego o kąt 30 stopni, otrzymując trójkąt T'. Oblicz \(\displaystyle{ T\cap T'}\).

Już rysunek mam z dwoma trójkątami z zaznaczoną płaszczyzną, którą trzeba obliczyć (część wspólna). Tylko jak to zrobić?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

Trójkąt prostokątny równoramienny.

Post autor: robin5hood » 20 paź 2007, o 21:41

[img]http://img529.imageshack.us/img529/1121/cck3wc.jpg[/img]

Pole części wspólnej tych trójkątów (\(\displaystyle{ T\cap T_1}\)) to pole \(\displaystyle{ 4}\) przystajacych trójkątów (to tu trzeba zauważyć). Wartość wysokości \(\displaystyle{ h}\) w 'dużym' trójkącie prostokątnym (o ramionach dł. \(\displaystyle{ a}\) i przeciwprost. dł. \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\)) wyliczamy z 2 różnych wzorów na jego pole, mamy więc:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a\sqrt{2}h \quad\iff\quad h=\frac{\sqrt{2}}{2}a}\)

Teraz wyliczamy miarę kąta ostrego jednego z tych przystających trójkątów (zaznaczony na pomaranczowo; jego miara wynosi \(\displaystyle{ 15^\circ}\)). Mając długość \(\displaystyle{ h}\) i miarę tego kąta potrzebna jest nam jeszcze długość podstawy \(\displaystyle{ x}\). Z funkcji trygonometrycznej tangens kąta $15^\circ$ mamy:

\(\displaystyle{ \tan 15^\circ=\frac{x}{h} \quad\iff\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ}\)

Teraz pole:
\(\displaystyle{ P=4\cdot\frac{1}{2}xh=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\tan 15^\circ=a^2\tan 15^\circ}\)

Ze wzorów redukcyjnych i wzorów na różnicę sinusów/cosinusów liczymy pomocniczo:
\(\displaystyle{ \tan 15^\circ=\frac{\sin(45^\circ-30^\circ)}{\cos(45^\circ-30^\circ)}=
\frac{\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ}{\cos45^\circ\cos30^\circ+sin45^\circ\sin30^\circ}=2-\sqrt{3}}\)


Podstawiając mamy ostatecznie: \(\displaystyle{ P_{T\cap T_1}=a^2\tan15^\circ=a^2(2-\sqrt{3})\ j.^2}\)

hubert632
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 6 maja 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław

Trójkąt prostokątny równoramienny.

Post autor: hubert632 » 29 maja 2008, o 12:16

Mógłby ktoś wyjaśnic jak, zauważyć , że te 4 trójkąty są przystające?

Awatar użytkownika
Gawroon7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 1 lis 2011, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sądecczyzna
Podziękował: 3 razy

Trójkąt prostokątny równoramienny.

Post autor: Gawroon7 » 23 sie 2012, o 22:45

Mam podobne pytanie co pan wyżej, tylko, że nie wiem co zrobić z czworokątem pomiędzy h i niepodpisanym h. Najprosciej bylo by walnac odcinek ktory podzieli kąty na połowy,ale...na jakiej podstawie bym mógł to zrobić? Myślałem, że może jako że to deltoid, ale też, skąd wiem że to deltoid? Bardzo proszę o pomoc, bo nie wiem co z tym zrobić. Pozostałe 2 trójkąty mam już.

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16293
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

Trójkąt prostokątny równoramienny.

Post autor: anna_ » 24 sie 2012, o 04:33

Wyżej już napisano, że trójkąty są przystające, więc pole tego czworokąta jest zbędne.

Żeby wykazać przystawanie wystarczy policzyć kąty.

Awatar użytkownika
Thuddy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 123
Rejestracja: 16 lis 2012, o 22:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 30 razy

Trójkąt prostokątny równoramienny.

Post autor: Thuddy » 11 kwie 2013, o 19:51

Witam, troszkę odkopuję temat, ale mam pewne niejasności. Skoro \(\displaystyle{ a=5}\) to wysokość policzyłem z wzoru na wysokość dla trójkąta równobocznego. \(\displaystyle{ h^{2}= \frac{3}{4}a}\) No i wyszło mi że \(\displaystyle{ h= \frac{5\sqrt{3}}{2}}\). Więc dlaczego to jest źle?

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16293
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 3233 razy

Trójkąt prostokątny równoramienny.

Post autor: anna_ » 12 kwie 2013, o 21:08

A gdzie masz tam trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ 5}\)?

ODPOWIEDZ