Operator różniczkowy - ogólna definicja
: 7 wrz 2021, o 15:11
Weźmy \(\displaystyle{ \alpha = (\alpha_{1},...,\alpha_{d}) \in \ZZ_{+}^d}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ a_\alpha \in \CC^{\infty}(\RR^{d})}\) definiujemy liniowy operator różniczkowy :
\(\displaystyle{ P(x,D) = \sum_{|\alpha| \le m} a_{\alpha}D^{\alpha}}\) gdzie \(\displaystyle{ D = \partial_{1}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot \partial_{d}^{\alpha_{d}}}\) i \(\displaystyle{ |\alpha| = \sum_{i=1}^{d}\alpha_{i}}\) (notacja wielowskaznikowa).
Czym w tym wszystkim jest \(\displaystyle{ m}\) i jak wygląda rozpisanie takiej sumy np. dla \(\displaystyle{ \alpha = (2,2,1) \in \ZZ_{+}^3}\)?
Wtedy mamy, \(\displaystyle{ P(x,D) = \sum_{5 \le m} a_{\alpha}D^{\alpha}}\). Zostaje tylko ograniczenie że \(\displaystyle{ m}\) jest większe lub równe \(\displaystyle{ 5}\) - tutaj kompletnie się gubię w sensowności tego napisu. Czy ktoś mógłby pokazać jak rozpisać tą sumę? Kompletnie nie widzę jak teraz ta suma powinna być rozpisana.
\(\displaystyle{ P(x,D) = \sum_{|\alpha| \le m} a_{\alpha}D^{\alpha}}\) gdzie \(\displaystyle{ D = \partial_{1}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot \partial_{d}^{\alpha_{d}}}\) i \(\displaystyle{ |\alpha| = \sum_{i=1}^{d}\alpha_{i}}\) (notacja wielowskaznikowa).
Czym w tym wszystkim jest \(\displaystyle{ m}\) i jak wygląda rozpisanie takiej sumy np. dla \(\displaystyle{ \alpha = (2,2,1) \in \ZZ_{+}^3}\)?
Wtedy mamy, \(\displaystyle{ P(x,D) = \sum_{5 \le m} a_{\alpha}D^{\alpha}}\). Zostaje tylko ograniczenie że \(\displaystyle{ m}\) jest większe lub równe \(\displaystyle{ 5}\) - tutaj kompletnie się gubię w sensowności tego napisu. Czy ktoś mógłby pokazać jak rozpisać tą sumę? Kompletnie nie widzę jak teraz ta suma powinna być rozpisana.