Matematyka.pl

W pewnym mieście postanowiono organizować co trzy lata turniej koszykówki, a co pięć lat - turniej siatkówki. Wiadomo, że turniej siatkówki odbył się w 2007 roku, a turniej koszykówki w 2008 - roku. W jakich kolejnych latach przed końcem 2050 roku oba turnieje odbędą się w tym samym roku?

Zacząłem robić to zadanie od wypisania pierwszej daty pokrycia się turniejów:
turnieje siatkówki 2007 2012 2017 2022
turnieje koszykówki 2008 2011 2014 2017 2020

NWD(3,5) wyszło mi 15.

Potem już tylko obliczyłem dla kolejnych lat począwszy od roku 2017 i wyszło mi ostatecznie w rozwiązaniu zadania 2017, 2032 i 2047.
.
Moje pytanie brzmi czy da się początkową datę pokrycia turniejów wyliczyć inaczej niż ręcznie poprzez wypisywanie wszystkich lat po kolei?

Tak, można rozważyć równanie w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ 2007+5k=2008+3l}\), a równoważnie \(\displaystyle{ 5k-3l=1}\). I tutaj albo pojechać rozszerzonym algorytmem Euklidesa, albo po prostu sprytny dzieciak widzi, że wystarczy wziąć \(\displaystyle{ k=2, \ l=3}\) i działa, a potem zaobserwować, że jeśli \(\displaystyle{ k,l}\) są rozwiązaniami, to \(\displaystyle{ k+3t, l+5t, \ t\in \ZZ}\) także. No i z tego równania bierzesz prawą, czy tam lewą stronę, co tam Ci wygodnie, i wstawiasz kolejne \(\displaystyle{ t}\) dodatnie dopóki nie przekroczysz \(\displaystyle{ 2050}\).

Kłania się chińskie twierdzenie o resztach. Wystarczy policzyć różnicę lat pomiędzy turniejami. Różnica wynosi jeden rok, czyli oba zawody były organizowane w 2002 a kolejne w 2017, 2032 i 2047.
Dobrze to widać gdy zrobimy rysunek prostokąta: 2 rzędy po 15 kwadracików. W pierwszym rzędzie zaznaczamy po 3 kwadraty a w drugim co 5.