Matematyka.pl

Zadanie polega na zbadaniu monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ e^{ \frac{1}{x^{2}(x+1)} } }\)

Liczę pochodną i wychodzi: \(\displaystyle{ -e^{ \frac{1}{x^{2}(x+1)} }\cdot \frac{3x+2}{ x^{3}\cdot (x+1)^{2} } }\).

Teraz będzie to wszystko dodatnie, jeżeli \(\displaystyle{ \frac{3x+2}{ x^{3}\cdot (x+1)^{2} }}\) będzie ujemne. Więc liczę \(\displaystyle{ 3x+2<0}\), czyli \(\displaystyle{ x < -\frac23}\). Przedziały monotoniczności:
a) rosnące \(\displaystyle{ (-\infty, -1) \cup\left( -1, -\frac23\right)}\),
b) malejące \(\displaystyle{ \left( -\frac23,0\right)\cup(0, +\infty)}\).

W odpowiedziach jest natomiast, że powinno być malejąca w \(\displaystyle{ (-\infty, -1), \left( -1, -\frac23\right), (0, +\infty)}\), a rosnąca w \(\displaystyle{ \left( -\frac23, 0\right)}\). Odpowiedzi się na pewno nie mylą, bo wklepałem sobie tą funkcję w rysowanie wykresu i wychodzą takie przedziały jak oni tam podają. Muszę zatem gdzieś robić błąd w tej nierówności. Ale \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) w przypadku wielomianowych ma ten sam znak co \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\), więc nie wiem gdzie ten błąd może być. Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc.

kuomi pisze: 1 wrz 2021, o 15:00Muszę zatem gdzieś robić błąd w tej nierówności.

Robisz ich nawet więcej niż jeden...

kuomi pisze: 1 wrz 2021, o 15:00 Ale \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) w przypadku wielomianowych ma ten sam znak co \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\), więc nie wiem gdzie ten błąd może być.

Trudno powiedzieć, co miałeś na myśli w powyższym zdaniu, ale to Twój pierwszy błąd. Znak ilorazu nie jest tożsamy ze znakiem licznika. Jak już, to (w swojej dziedzinie) jest tożsamy ze znakiem iloczynu. Mianownik w ilorazie, który badasz, może być dodatni lub ujemny (co wpływa na znak ilorazu), co zupełnie zignorowałeś.

Twój drugi błąd polega na podawaniu odpowiedzi w postaci sumy przedziałów. Tak nie wolno - ta funkcja jest monotoniczna (np. malejąca) na odpowiednich przedziałach, ale nie jest malejąca na ich sumie!

JK

Dziękuję za odpowiedź. Zapamiętam sobie to o tej sumie.

Natomiast co do drugiego to chodziło mi, że w nierówności wielomianowej \(\displaystyle{ \frac{W(a)}{W(b)} }\) możemy sobie pomnożyć przez wielomian \(\displaystyle{ W(b)}\) obie strony i będzie zawsze ten sam znak bo jak \(\displaystyle{ \frac{W(a)}{W(b)} }\) jest np. ujemne to \(\displaystyle{ W(a)\cdot W(b)}\) też będzie ujemne.

kuomi pisze: 1 wrz 2021, o 15:47Natomiast co do drugiego to chodziło mi, że w nierówności wielomianowej \(\displaystyle{ \frac{W(a)}{W(b)} }\) możemy sobie pomnożyć przez wielomian \(\displaystyle{ W(b)}\) obie strony i będzie zawsze ten sam znak

Ten sam znak czego? W ogólności, jeżeli nie znasz znaku wielomianu \(\displaystyle{ W(b)}\), to nie możesz przez niego mnożyć obu stron nierówności.

JK

Dobra, w takim razie będę mnożyć przez W(b) do kwadratu i wtedy już jest wszystko okej i wychodzi to co w odpowiedziach.

Jeszcze raz dzięki za pomoc.