Matematyka.pl

Czy wektory prędkości dwóch różnych obiektów należą to tej samej przestrzeni wektorowej? Matematycznie te przestrzenie są identyczne i można je dodać jak ktoś chce. Ale czy każdy z tych obiektów nie powinien mieć własnej przestrzeni wektorowej? Istnieją niezależnie i dodawanie ich nie ma sensu. A jak wprowadzimy dodatkowo przędkość jednego obiektu względem drugiego to znowu powstaje nowa przestrzeń.

Czy może w związku z tym, że wszyskie te przestrzenie są matematycznie nieodróżnialne od siebie nie można powiedzieć, że się różnią. Na przykład, kiedy dwa zbiory nają takie same elementy to mamy tak na prawdę tylko jeden. Czy tak samo jest z przestrzeniami wektorowymi?

Wektory prędkości należą do przestrzeni stycznych do rozmaitości konfiguracji układu, a przestrzenie styczne zaczepione w różnych punktach są w ogólności 'różne', tzn. nie są kanonicznie izomorficzne (choć są izomorficzne 'po prostu', jak wszystkie przestrzenie wektorowe ustalonego wymiaru).
Żeby móc np. odejmować prędkości od siebie potrzebujemy dodatkowej struktury na wiązce stycznej - koneksji. Pozwala ona 'transportować' wektory styczne z jednej przestrzeni stycznej do drugiej. Jako, że szkolną fizykę uprawiamy na zwykłym \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), które jest obiektem dość prostym, to nie zauważamy konieczności rozpatrywania tej dodatkowej struktury, ale ona tam jest.
Swoją drogą, z takiego geometrycznego punktu widzenia, przyspieszenie w mechanice nierelatywistycznej nie jest wektorem, bo nie należy do przestrzeni wektorowej. Widać to jak się wyrazi przyspieszenie w jakimś krzywoliniowym układzie współrzędnych. Nie transformuje się ono liniowo, tylko afinicznie, bo należy do włókien wiązki \(\displaystyle{ \textsf{T}^2M}\), która jest wiązką afiniczną. W mechanice relatywistycznej zwykła \(\displaystyle{ 3}\)-prędkość też nie jest wektorem, ale o tym to się już częściej słyszy