Matematyka.pl

Mam takie oto zadanko: Dwa sąsiednie boki czworokąta wpisanego w okrąg mają długość 5 i 8 cm, przekątna, której końcami są końce tych boków, ma długość 7, a pozostałe dwa boki mają równą długość. Oblicz pole tego czworokąta.

No i rozwiązałem to zadanko, ale dostaje ponoć błędny wynik. Robiłem tak: Najpierw dla trójkąta \(\displaystyle{ 5,8,7}\) napisałem twierdzenie cosinusów:
\(\displaystyle{ 49=25+64-80\cos\alpha}\), z czego otrzymałem, że \(\displaystyle{ \alpha=60}\) stopni.
Kąt w czworokącie leżący na przeciw tego kąta musi być równy \(\displaystyle{ 120}\) stopni, bo czworokąt jest wpisany w okrąg.
Dalej twierdzenie sinusów dla tego drugiego trójkąta, z równymi dwoma bokami:
\(\displaystyle{ \frac{7}{\sin (120)}= \frac{x}{\sin (30)} }\)
Z tego otrzymałem, że \(\displaystyle{ x= \frac{7}{ \sqrt{3} } }\)
No i teraz piszę ile wynosi pole czworokąta:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \frac{49}{3} \frac{ \sqrt{3} }{2}+ \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{169 \sqrt{3} }{12} }\),
No, ale w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{109 \sqrt{3} }{6} }\), zatem moje pytanie jest gdzie robię błąd lub ewentualnie czy w odpowiedziach jest błąd?

wg mnie masz ok.

A bok (x) mogłeś wyznaczyć z własności trójkąta ,,30; 60; 90".

Ok, ale gdzie masz ten trójkąt \(\displaystyle{ 30,60,90}\)?

Masz trójkąt równoramienny : \(\displaystyle{ 7; x; x}\).
Między ramionami jest \(\displaystyle{ 120^o}\) - czyli jego połowa (poprowadzić wysokość do podstawy) jest taka jak napisałem.