Udowonić wartość bezwzględną

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
Andris
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 15 paź 2007, o 23:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 2 razy

Udowonić wartość bezwzględną

Post autor: Andris » 19 paź 2007, o 21:42

Udowodnić, że jeżeli x>-1, to zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ |x - y|\geq ||x| - |y||}\) dla (n>1)

przy czym znak równości ma miejsce tylko dla x=0
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

zeus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 19 paź 2007, o 19:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole

Udowonić wartość bezwzględną

Post autor: zeus » 20 paź 2007, o 08:41

Andris pisze:Udowodnić, że jeżeli x>-1, to zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ |x - y|\geq ||x| - |y||}\) dla (n>1)

przy czym znak równości ma miejsce tylko dla x=0
Proste, wartość bezwzględna z liczby dodatniej (y>1) jest zawsze dodatnia, więc w 1 etapie usuwasz tą wartość bezwzględną z |y|
Teraz co z X? Wyrażenie jest równe dla każdego X >0, bo |x| przy X>0 zawsze jest równe X. Natomiast przy X z zakresu (-1,0> Wyrażenie jest równe, ponieważ |-x| = |x| i wychodzi X-Y = X-Y

Warunek 1:
\(\displaystyle{ y>1}\) , z tego wynika, że \(\displaystyle{ |x - y|\geq ||x| - y|}\)
Warunek 2:
\(\displaystyle{ x>-1}\), z tego wynika, że:
1) dla \(\displaystyle{ x\in (-1,0>}\) wartość X jest ujemna badź też 0, więc podstawmy za \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ -x}\), wyjdzie nam: \(\displaystyle{ |-x - y|\geq |x - y|}\)
y jest zawsze większy od x, więc wartość po lewej stronie będzie mniejsza od wartości po prawej, a po usunięciu wartości bezwzględnej wartość lewa będzie większa od prawej, gdyż zmieni się znak po obu stronach z - na +
2) dla \(\displaystyle{ x>0}\) \(\displaystyle{ |x - y|\geq |x - y|}\) , po usunięciu wartości bezwzględnej wyjdzie nam, że lewa strona równa się prawej.

*Kasia
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2826
Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin/warszawa
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 482 razy

Udowonić wartość bezwzględną

Post autor: *Kasia » 20 paź 2007, o 11:36

zeus pisze:wartość bezwzględna z liczby dodatniej (y>1) jest zawsze dodatnia
A skąd wiesz, że \(\displaystyle{ y>1}\)?

ODPOWIEDZ