Różne rozwinięcia dziesiętne
: 9 sie 2021, o 08:46
Oglądając pewien popularnonaukowy materiał o konstrukcji liczb rzeczywistych, tam pojawiły się dwa wzory na przedstawienie rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x.}\)
Niech \(\displaystyle{ x = x_0, x_1x_2x_3...,}\) gdzie \(\displaystyle{ x_k}\) rozumie się tu jako kolejne cyfry w zapisie liczby.
Wzór 1
\(\displaystyle{ x_0 = \lceil x-1 \rceil\\
x_1 = \left\lceil 10\left( x-x_0\right) -1 \right\rceil\\
x_2 = \left\lceil 10^2\left( x-x_0-\frac{x_1}{10}\right)-1 \right\rceil\\
x_3 = \left\lceil 10^3\left( x-x_0-\frac{x_1}{10}-\frac{x_1}{10^2}\right) -1 \right\rceil\\
\ldots\\
x_k = \left\lceil 10^k\left( x- \sum_{i=0}^{k-1} \frac{x_i}{10^i}\right) -1 \right\rceil\\
\ldots}\)
Wzór 2
\(\displaystyle{ x_0 = \lfloor x-1 \rfloor\\
x_1 = \left\lfloor10\left( x-x_0\right) \right\rfloor\\
x_2 = \left\lfloor 10^2\left( x-x_0-\frac{x_1}{10}\right) \right\rfloor\\
x_3 = \left\lfloor 10^3\left( x-x_0-\frac{x_1}{10}-\frac{x_1}{10^2}\right) \right\rfloor\\
\ldots\\
x_k = \left\lfloor 10^k\left( x- \sum_{i=0}^{k-1} \frac{x_i}{10^i}\right) \right\rfloor\\
\ldots}\)
Zetknąłem się z tym również na jednym z wykładów (zdecydowanie się na jeden z tych wzorów było istotne dla pewnego dowodu), tylko jakoś nikt nie podjął się przedstawienia dowodu, że te wzory faktycznie są równoważne. Gdzie mógłbym znaleźć dowód tego faktu?
Ciekawostka: Według drugiego wzoru \(\displaystyle{ 1 = 1,(0)}\); Według pierwszego wzoru \(\displaystyle{ 1 = 0,(9).}\)
Niech \(\displaystyle{ x = x_0, x_1x_2x_3...,}\) gdzie \(\displaystyle{ x_k}\) rozumie się tu jako kolejne cyfry w zapisie liczby.
Wzór 1
\(\displaystyle{ x_0 = \lceil x-1 \rceil\\
x_1 = \left\lceil 10\left( x-x_0\right) -1 \right\rceil\\
x_2 = \left\lceil 10^2\left( x-x_0-\frac{x_1}{10}\right)-1 \right\rceil\\
x_3 = \left\lceil 10^3\left( x-x_0-\frac{x_1}{10}-\frac{x_1}{10^2}\right) -1 \right\rceil\\
\ldots\\
x_k = \left\lceil 10^k\left( x- \sum_{i=0}^{k-1} \frac{x_i}{10^i}\right) -1 \right\rceil\\
\ldots}\)
Wzór 2
\(\displaystyle{ x_0 = \lfloor x-1 \rfloor\\
x_1 = \left\lfloor10\left( x-x_0\right) \right\rfloor\\
x_2 = \left\lfloor 10^2\left( x-x_0-\frac{x_1}{10}\right) \right\rfloor\\
x_3 = \left\lfloor 10^3\left( x-x_0-\frac{x_1}{10}-\frac{x_1}{10^2}\right) \right\rfloor\\
\ldots\\
x_k = \left\lfloor 10^k\left( x- \sum_{i=0}^{k-1} \frac{x_i}{10^i}\right) \right\rfloor\\
\ldots}\)
Zetknąłem się z tym również na jednym z wykładów (zdecydowanie się na jeden z tych wzorów było istotne dla pewnego dowodu), tylko jakoś nikt nie podjął się przedstawienia dowodu, że te wzory faktycznie są równoważne. Gdzie mógłbym znaleźć dowód tego faktu?
Ciekawostka: Według drugiego wzoru \(\displaystyle{ 1 = 1,(0)}\); Według pierwszego wzoru \(\displaystyle{ 1 = 0,(9).}\)