Matematyka.pl

Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ d_1 > d_n + d_{n-1}}\). Niech \(\displaystyle{ d_1}\) będzie odległością odcinka \(\displaystyle{ ab}\) i oznaczmy pozostałe punkty przez \(\displaystyle{ c_3, \ldots, c_n}\). Dla \(\displaystyle{ k = 3, \ldots, n}\) mamy

\(\displaystyle{ d(a, c_k) + d(b, c_k) \ge d(a, b) = d_1 > d_n + d_{n-1} > 2d_n}\),

zatem \(\displaystyle{ d(a, c_k) > d_n}\) lub \(\displaystyle{ d(b, c_k) > d_n}\). Skoro zaś pary \(\displaystyle{ (ac_3, bc_3), \ldots, (ac_n, bc_n)}\) składają się z \(\displaystyle{ 2n-4}\) różnych odcinków i w każdej parze można wybrać odcinek o długości ze zbioru \(\displaystyle{ \{ d_2, d_3, \ldots, d_{n-1} \}}\), to owe wybrane odcinki muszą w istocie przyjmować wszystkie te długości. W szczególności \(\displaystyle{ d_{n-1} = d(a, c_k)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) (lub \(\displaystyle{ d_{n-1} = d(b, c_k)}\), wychodzi na to samo). Wtedy jednak \(\displaystyle{ d(b, c_k) \le d_n}\) (bo \(\displaystyle{ d(b, c_k) \notin \{ d_2, \ldots, d_{n-1} \}}\)), zatem \(\displaystyle{ d(a, c_k) + d(b, c_k) \le d_{n-1} + d_n}\), co jest sprzeczne ze stwierdzoną uprzednio nierównością.