Matematyka.pl

Oblicz \(\displaystyle{ \int {\dfrac{1}{\sin\left(x-a\right)\sin\left(x-b\right)\sin\left(x-c\right)}}\,dx}\).

Wystarczyć rozłożyć na sumę:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}= \frac{A}{\sin(x-a)} + \frac{B}{\sin(x-b)} + \frac{C}{\sin(x-c)} }\)

Obliczyć A, B, C i po sprawie...(łatwo obliczyć)

\(\displaystyle{ A= \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)} }\)

\(\displaystyle{ B= \frac{1}{\sin(b-a)\sin(b-c)} }\)

\(\displaystyle{ C= \frac{1}{\sin(c-a)\sin(c-b)} }\)

Dalej to banał bo:


\(\displaystyle{ A \int_{}^{} \frac{dx}{\sin(x-a)}=A \ln(\tg(x-a))}\)

itd...

A możesz pokazać jak to rozłożyć? Z góry dziękuję

jak przemnożysz pierwszą sumę otrzymasz:

\(\displaystyle{ 1=A\sin(x-b)\sin(x-c)+B\sin(x-a)\sin(x-c)+C\sin(x-a)\sin(x-b)}\)

Skoro jest to prawdziwe dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) podstaw za \(\displaystyle{ x=a}\)

otrzymasz:

\(\displaystyle{ A\sin(a-b)\sin(a-c)=1}\)

z tego:

\(\displaystyle{ A= \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)} }\)

Potem tak samo obliczasz: B i C podstawiając za \(\displaystyle{ x :=b \wedge c}\)

....

A sprawdziłeś, że wynik będzie poprawny? Czy tylko tak Ci się skojarzyło z rozkładem na ułamki proste?

Nie uważasz, że taka tożsamość
`1=A\sin(x-b)\sin(x-c)+B\sin(x-a)\sin(x-c)+C\sin(x-a)\sin(x-b)`
rzadko kiedy może zachodzić? Choćby dlatego, że prawa strona ma na ogół okres `2\pi`?

Tak skojarzyło mi się z rozkładem na ułamki proste reszty nie sprawdzałem, wystarczy zróżniczkować wynik i się sprawdzi niestety zabrakło mi na to czasu bo karczowałem drzewa jak wypocznę i będę miał chęć to i może se sprawdzę...

Dodano po 1 minucie 24 sekundach:
Pomysł jest jaki jest a jak na razie najlepszy bo jedyny...

arek1357 pisze: ↑28 paź 2021, o 23:44Pomysł jest jaki jest a jak na razie najlepszy bo jedyny...

Jest to także pomysł najgorszy.

JK

Pokaż lepszy!

Dodano po 1 minucie 35 sekundach:
Zróżniczkuj stronę prawą a jak otrzymasz albo i nie stronę lewą to wtedy daj głos...

Jak nie mam dobrego pomysłu, to nie piszę. Ty zaś często nie poddajesz swoich pomysłów żadnej weryfikacji, przez co niekiedy piszesz głupoty.

JK

*Biorę popcorn*
Panowie, proszę. Uznajmy, że to kwestia późnej godziny i złego dnia. Powściągliwość jest cnotą (gdzie ma rację JK), ale jak widać po jego poście, każdy ma swoje granice powściągliwości. Jak ktoś napisze pierdołę, to pewnie znajdzie się ktoś uprzejmy, kto z wielką radością ją wskaże.

Co do całki - jest straszna, polecam przeprosić prowadzącego (cokolwiek mu zrobiliście).

Niestety ale policzyłem te sumy sinusów sprowadziłem do wspólnego mianownika zredukowałem i wychodzi strona lewa czyli dokładnie to co jest pod całką, dla niedowiarków wrzucę obliczenia jak będę miał czas i może pokaże niedowiarkom w każdym bądź razie sprowadzenie do wspólnego mianownika i spałowanie sinusów daje wynik poprawny czyli całka jest obliczona dobrze nieważnie jakie motywy mną kierowały...

Dodano po 2 minutach 27 sekundach:
Jak ktoś nie wierzy niech se spałuje te sinusy i zobaczy...

Dodano po 2 minutach 55 sekundach:
Całka jest wyliczona dobrze nawet jak sposób się komuś nie podoba...

arek1357 pisze: ↑29 paź 2021, o 09:35 Niestety ale policzyłem te sumy sinusów sprowadziłem do wspólnego mianownika zredukowałem i wychodzi strona lewa czyli dokładnie to co jest pod całką, dla niedowiarków wrzucę obliczenia jak będę miał czas i może pokaże niedowiarkom w każdym bądź razie sprowadzenie do wspólnego mianownika i spałowanie sinusów daje wynik poprawny czyli całka jest obliczona dobrze

Czekamy na Twoje wyliczenia (nie zaś na obietnicę wyliczeń) - póki co jest tylko Twoje głębokie przekonanie o poprawności swoich rachunków i uwaga a4karo wskazująca, że jednak nie są poprawne.

I nie martw się - jestem przekonany, że jeżeli okaże się, iż rozwiązałeś zadanie poprawnie, to wszyscy publicznie wyrażą Ci swoje uznanie. Ale nie wcześniej.

JK

Dobrze więc:

\(\displaystyle{ A= \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)} }\)

\(\displaystyle{ B= \frac{1}{\sin(b-a)\sin(b-c)} }\)

\(\displaystyle{ C= \frac{1}{\sin(c-a)\sin(c-b)} }\)

Podstawiamy do sumy i mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(x-a)} + \frac{1}{\sin(b-a)\sin(b-c)\sin(x-b)} + \frac{1}{\sin(c-a)\sin(c-b)\sin(x-c)} =}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(x-a)} - \frac{1}{\sin(a-b)\sin(b-c)\sin(x-b)} + \frac{1}{\sin(a-c)\sin(b-c)\sin(x-c)} =}\)

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

\(\displaystyle{ \frac{\sin(b-c)\sin(x-b)\sin(x-c)-\sin(a-c)\sin(x-a)\sin(x-c)+\sin(a-b)\sin(x-a)\sin(x-b)}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}}\)

Teraz góra:

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \frac{\sin(2b-2c)-\sin(2b-2x)+\sin(2c-2x)-\sin(2a-2c)+\sin(2a-2x)-\sin(2c-2x)+\sin(2a-2b)-\sin(2a-2x)+\sin(2b-2x)-\sin(2c-2x)}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}=}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \frac{\sin(2b-2c)-\sin(2a-2c)+\sin(2a-2b)}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}=}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \frac{4\sin(a-b) \cdot \sin(a-c) \cdot \sin(b-c)}{\sin(a-b)\sin(a-c)\sin(b-c)\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}=}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin(x-a)\sin(x-b)\sin(x-c)}}\)

I co ,

Fakt używałem do tego celu wolframa ale już się z tego wyspowiadałem...

Nie do wiary, ale to działa. A możesz teraz tą metodą policzyć całkę \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sin(x-a)\sin(x-b)}}\)?

Dodano po 45 minutach 27 sekundach:
daje przedziwną, acz piękną tożsamość:

\(\displaystyle{ \sin(a+b)\sin(a-b)+\sin(b+c)\sin(b-c)+\sin(c+a)\sin(c-a)=0}\), która pozostaje prawdziwa gdy usuniemy sinusy

Zgodnie z zapowiedzią wyrażam uznanie.

JK