Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X_1,X_2,...,X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi wszystkie o rozkładzie \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Rozkładem chi kwadrat o n stopniach swobody nazywamy rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} X_i^2}\).

Niech teraz \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie \(\displaystyle{ \chi_n^2}\), \(\displaystyle{ Y= \sqrt{ \frac{X}{n}}}\) i \(\displaystyle{ Z \sim N(0,1)}\). Wtedy rozkładem t-Studenta z n stopniami swobody nazywamy rozkład zmiennej losowej

\(\displaystyle{ T=\frac{Z}{Y} = \frac{Z}{\sqrt{\frac{X}{n}}}.}\)

Niech \(\displaystyle{ \bar{X}}\) oznacza średnią z próby oraz \(\displaystyle{ S^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{n-1}}\). Zmienne losowe \(\displaystyle{ \bar{X}}\) oraz \(\displaystyle{ S^2}\) są niezależne. Ponadto jeśli \(\displaystyle{ X=(X_1,X_2,...,X_{n})}\) pochodzi z rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(\mu, \sigma^2)}\), to \(\displaystyle{ \frac{(n-1)}{\sigma^2} S^2 \sim \chi_{n-1}^2}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ Z=\frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\bar{X}-\mu) \sim N(0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ X=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{n-1}^2}\) i Z i X są niezależne, to zmienna losowa

\(\displaystyle{ T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{X}{n-1}}}=\frac{\frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\bar{X}-\mu)}{\sqrt{\frac{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}{n-1}}} = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}}\)

ma rozkład t-Studenta z n-1 stopniami swobody. Z tablic rozkładu t-Studenta odczytujemy wartość \(\displaystyle{ t_{\alpha}}\) taką, że

\(\displaystyle{ P \left( \bar{X}-t_{n-1,\alpha} \frac{S}{\sqrt{n}} < \mu <\bar{X}+t_{n-1,\alpha} \frac{S}{\sqrt{n}} \right)=1-\alpha}\)

gdzie n to ilość zmiennych losowych w próbie i n-1 to liczba stopni swobody w rozkładzie t-Studenta.