Matematyka.pl

Witam,

Chciałbym się dowiedzieć w jaki sposób można wyliczyć dokładne wartości funkcji trygonometrycznych takich jak cosinus 36 stopni. Nie chodzi mi o wartości przybliżone z tablic

\(\displaystyle{ \sin 5x=\sin^5x-10\cos^2x \sin^3 x+5\cos^4 x\sin x }\)
\(\displaystyle{ \sin 5 \cdot 36^o=\sin^5 36^o-10\cos^2 36^o \sin^3 36^o+5\cos^4 36^o\sin 36^o}\)
\(\displaystyle{ 0=\sin 36^o( \sin^4 36^o-10\cos^2 36^o \sin^2 36^o+5\cos^4 36^o}\)
\(\displaystyle{ 0=\sin^4 36^o-10(1-\sin^2 36^o) \sin^2 36^o+5(1-\sin^2 36^o)^2}\)
albo
\(\displaystyle{ 0=(1-\cos^2 36^o)^2-10\cos^2 36^o(1-\cos^2 36^o)+5\cos^4 36^o}\)
Oba równania to równania dwukwadratowe.

z cosinusem

Bardzo dziękuję za odpowiedzi, nie miałem jeszcze styczności z tego typu równaniami kwadratowymi, ale udało mi się je rozwiązać i wszystko rozumiem

Możesz użyć wzoru na cosinus kąta suma (lub różnica) dla kąta \(\displaystyle{ 36}\) stopni, korzystając z wartości znanych kątów trygonometrycznych, takich jak \(\displaystyle{ 30}\) stopni i \(\displaystyle{ 6}\) stopni. Matematycznie to może wyglądać tak: \(\displaystyle{ \cos(36^\circ) = \cos(30^\circ + 6^\circ).}\)

Możesz też z szeregu Taylora wyprowadzić dowolnie dokładne przybliżenie w danym punkcie

David761 pisze: ↑1 lut 2024, o 17:03korzystając z wartości znanych kątów trygonometrycznych, takich jak \(\displaystyle{ 30}\) stopni i \(\displaystyle{ 6}\) stopni.

Czyli \(\displaystyle{ \cos 6^\circ}\) uważasz za znany? A ile to jest?

Czasem lepiej nic nie pisać...

JK

Mając sinusa osiemnastu stopni (mam nadzieję, że jest ok) z poniższego
funkcje-trygonometryczne-i-cyklometrycz ... 96383.html
funkcje-trygonometryczne-i-cyklometrycz ... 80546.html
Wolfram obliczył (ze wzoru na sinus potrojonego argumentu) sinusa sześciu stopni : \(\displaystyle{ \frac{1}{8}\left(-1-\sqrt 5+\sqrt {30-6\sqrt 5}\right)}\) (nie wygląda to na przybliżenie).
No to do cosinusa już blisko - chyba, że coś źle wpisałem.

piasek101 pisze: ↑1 lut 2024, o 21:05 Mając sinusa osiemnastu stopni

Mają sinusa \(\displaystyle{ 18^\circ}\) jest prostszy sposób na wyznaczenie \(\displaystyle{ \cos 36^\circ}\) niż liczenie sinusa \(\displaystyle{ 6^\circ.}\)

JK

Tak np taki jak podałem pod linkiem w tym wątku. A o sześciu stopniach pisałem pod Twoim postem, w którym coś o tym wspomniałeś.

piasek101 pisze: ↑2 lut 2024, o 08:46A o sześciu stopniach pisałem pod Twoim postem, w którym coś o tym wspomniałeś.

No OK.

Chodziło mi raczej o to, że wszytko zaczęło się od wpisu pewnego archeologa, co do którego podejrzewałem, że jego celem było opublikowanie czegokolwiek (i prezentacja linku w wizytówce), a nie opublikowanie czegoś sensownego...

JK