zbieżność jednostajna i punktowa

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom
Podziękował: 311 razy
Pomógł: 5 razy

zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: qaz » 19 paź 2007, o 19:19

Zbadać zbieżność punktową i jednostajną ciągów funkcyjnych:
a) \(\displaystyle{ f_n(x)=\frac{1}{nx}, \ x (0, )}\)
b) \(\displaystyle{ f_n(x)=frac{1}{nx}, x [5, )}\)

za pomoc z góry bardzo dziękuję.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: andkom » 19 paź 2007, o 23:25

dla \(\displaystyle{ x\in(0,\infty)}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac1{nx}=0}\), a więc zarówno w a), jak i w b) mamy zbieżność punktową do funkcji zerowej (o odpowiedniej dziedzinie).

W przypadku b) nasza zbieżność jest jednostajna, bo dla każdego \(\displaystyle{ x\geqslant5}\) mamy \(\displaystyle{ \left|\frac1{nx}-0\right|\leqslant\frac1{5n}}\), czyli \(\displaystyle{ sup_{xin[5,infty)}|f_n(x)-0|leqslantfrac1{5n} o0}\).

W przypadku a) zbieżności jednostajnej nie ma, bo dla każdego n mamy \(\displaystyle{ \sup_{x\in(0,\infty)}|f_n(x)-0|=\sup_{x\in(0,\infty)}\left|\frac1{nx}\right|=+\infty\not\to0}\)

Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom
Podziękował: 311 razy
Pomógł: 5 razy

zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: qaz » 20 paź 2007, o 09:15

thx
a to supremum w a) się bieże z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{nx}=\infty}\)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: Emiel Regis » 20 paź 2007, o 09:25

Bierze; )
W tym przypadku tak, ale ogólnie pytamy się przez co można ograniczyć wartości funkcji, u nas funkcja przyjmuje największe wartości własnie z prawej strony zera. No i na tyle duże że nie ma skończonego kresu górnego.

Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom
Podziękował: 311 razy
Pomógł: 5 razy

zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: qaz » 20 paź 2007, o 09:40

thx

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

zbieżność jednostajna i punktowa

Post autor: Emiel Regis » 20 paź 2007, o 09:52

Dziekuje za docenienie mojej pomocy natomiast to andkom wykonał tutaj czarną robotę i jemu się tym bardziej punkt należy.

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ