Matematyka.pl

Dana jest zmienna \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie \(\displaystyle{ [0,3]}\) i mam (międzyinnymi) znaleźć rozkład \(\displaystyle{ x^{ \frac{1}{3}}}\). Co prawda widziałem analogiczny przykład na rozkładzie wykładniczym, ale czuje się trochę niepewnie. Do tej pory moje próby wyglądają następująco:

Skoro dystrybuanta \(\displaystyle{ F(t) = \begin{cases} 0, ~ t \le 0 \\ \frac{t}{3}, ~ t \in (0,3] \\ 1, ~w.p.p\end{cases}}\)

To dla zmiennej \(\displaystyle{ x^{\frac{1}{3}}}\):

\(\displaystyle{ F(t)=P(x \le t^{\frac{1}{3}}) = P( x \le t^{3}) = \begin{cases} 0, ~ t \le 0 \\ \frac{t^{3}}{3}, ~ t \in (0,3] \\ 1,~w.p.p \end{cases}}\)

W konsekwencji gęstość jako pochodna z dystrybuanty wyniesie \(\displaystyle{ f(t) = \begin{cases} t^{2}, ~t \in (0,3] \\ 0, ~w.p.p \end{cases}}\)

Czy ktoś mógłby zweryfikować poprawność toku mojego rozumowania i ewentualnie wskazać jak to dokończyć?

WSK czemu powinna się równać całka z gęstości?

Całka z gęstości to dystrybuanta, ale to w takim razie mam poprawić przedział \(\displaystyle{ t}\) z końcowej odpowiedzi tj:

\(\displaystyle{ f(t) = \begin{cases} t^{2}, ~ t >0 \\ 0,~w.p.p\end{cases}}\)

?

A co to jest `f`?
Zastanów się jak wygląda dystrybuanta rozkładu jednostajnego.