Trójkąty i czworokąt

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8420
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2744 razy
Pomógł: 702 razy

Trójkąty i czworokąt

Post autor: mol_ksiazkowy » 2 lip 2021, o 17:24

Z dowolnych wierzchołów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) trójkąta narysowano przecinające się proste, które podzieliły go na trzy trójkąty o polach \(\displaystyle{ 2, 5, 7}\) i jeden czworokąt. Jakie jest jego pole ?

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 81 razy
Pomógł: 329 razy

Re: Trójkąty i czworokąt

Post autor: matmatmm » 2 lip 2021, o 18:22

Lemat. Niech w trójkącie \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) punkty \(\displaystyle{ A_1, B_1}\) leżą na bokach \(\displaystyle{ BC, AC}\) odpowiednio, a punkt \(\displaystyle{ P}\) jest punktem przecięcia \(\displaystyle{ AA_1, BB_1}\). Wówczas

\(\displaystyle{ \frac{AP}{PA_1}=\frac{\frac{CA_1}{A_1B}+1}{\frac{CB_1}{B_1A}}}\).

Oznaczając znane pola trójkątów przez \(\displaystyle{ a,b,c}\), a nieznane pole czworokąta przez \(\displaystyle{ x}\) mamy:

\(\displaystyle{ \frac{b}{c}=\frac{\frac{a+x}{b+c}+1}{\frac{c+x}{a+b}}}\)

Mój wynik to \(\displaystyle{ x=\frac{ac(2b+a+c)}{b^2-ac}}\)

i teraz mamy chyba dwa rozwiązania, bo może być \(\displaystyle{ a=2,b=5,c=7}\) albo \(\displaystyle{ a=2,b=7,c=5}\).

ODPOWIEDZ