Matematyka.pl

Szukam dowodu na równość:
\(\displaystyle{ \mbox{CORN}=\mbox{CORJ}+\mbox{CSRN}}\), gdzie symbole oznaczają kolejno: całka ogólna równania niejednorodnego, całka ogólna równania jednorodnego, całka szczególna równania niejednorodnego.

Dowód jest bardzo prosty. Rozpatrujemy równanie liniowe niejednorodne. Przypuśćmy, że ma ono dwa rozwiązania \(\displaystyle{ u_1}\) i \(\displaystyle{ u_2}\). Wówczas łatwo sprawdzić, że różnica \(\displaystyle{ v = u_1 - u_2}\) spełnia równanie liniowe jednorodne. Nietrudno sprawdzić teraz, że jeśli mam jakieś rozwiązania takiego równania, to ich kombinacja liniowa także jest rozwiązaniem. W konsekwencji, rozwiązania równania jednorodnego tworzą przestrzeń liniową. Ze wspomnianej równości powyżej mamy, że \(\displaystyle{ u_1 = v + u_2}\). \(\displaystyle{ u_1, u_2}\) to dowolne rozwiązania równania niejednorodnego. Wystarczy zatem ustalić \(\displaystyle{ u_2}\) jako jakieś rozwiązanie (dowolnie wybrane), i pozostałe dostajemy z powyższego wzoru, gdzie \(\displaystyle{ v}\) przebiega przestrzeń liniową rozwiązań równania jednorodnego.