przedział zbieżności
: 24 cze 2021, o 19:52
Wyznacz przedział zbieżności szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{n\geq 1}x^n \ln \frac {\ln(n+1)}{\ln (n)}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right) }{ \frac{1}{n\ln n} } =1. }\)
Wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ |x|>1}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } x^n \frac{1}{n\ln n} \cdot \frac{\ln \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right) }{ \frac{1}{n\ln n} } \neq 0. }\)
Zostaje więc brzeg. Dla \(\displaystyle{ x=1}\) działa lemat tylko trzeba wysłowić to w kontekście kryterium ilorazowego. Zatem mamy rozbieżność dla \(\displaystyle{ x=1}\). A dla \(\displaystyle{ x=-1}\) powinno zadziałać kryterium Leibniza.