Matematyka.pl

Hej,

Mam problem z takim zadaniem, że mam wyznaczyć wzór jawny na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego ze wzoru charakterystycznego \(\displaystyle{ x ^{2}-x+1=0 }\) no i te równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych, więc nie mogę dalej wyznaczyć wzoru jawnego. Co w takiej sytuacji? Piszemy, że nie da się wyznaczyć wzoru jawnego?

Nie ma rozwiązań rzeczywistych, lecz są zespolone, a stąd :
\(\displaystyle{ y_n=A \left( \frac{1+i \sqrt{3} }{2}\right)^n +B \left( \frac{1-i \sqrt{3} }{2}\right)^n}\)

Przechodząc na postać trygonometryczną masz:
\(\displaystyle{ y_n=(A+B)\cos n \frac{ \pi }{3}+(A-B)i\sin n\frac{ \pi }{3} }\)
czyli:
\(\displaystyle{ y_n=P\cos n \frac{ \pi }{3}+Qi\sin n\frac{ \pi }{3} }\)

Znając warunki początkowe wyliczasz A,B lub P,Q i dostajesz wzór ogólny.