Matematyka.pl

Pokazać, że jeśli niezerowe elementy \(\displaystyle{ x,y}\) przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ X}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \left| \left| x+y\right| \right| = \left| \left| x\right| \right| + \left| \left| y \right| \right| }\), to \(\displaystyle{ y = \alpha x }\) dla \(\displaystyle{ \alpha \in (0, + \infty ) }\).

Rozpisałam to z definicji normy:

\(\displaystyle{ \left| \left| x+y\right| \right| = \sqrt{(x|x) + 2(x|y) + (y|y) } }\)

Myślałam o wykorzystaniu nierówności Schwarza, ale nie widzę punktu w którym mogę uzyskać wniosek, że \(\displaystyle{ y}\) musi mieć konkretną wartość.

Proszę o jakieś wskazówki.

Ist94 pisze: ↑22 cze 2021, o 12:03
\(\displaystyle{ \left| \left| x+y\right| \right| = \sqrt{(x|x) + 2(x|y) + (y|y) } }\)

To zachodzi tylko w przestrzeniach rzeczywistych.

A co do rozwiązania, to podnosząc założenie \(\displaystyle{ \left| \left| x+y\right| \right| = \left| \left| x\right| \right| + \left| \left| y \right| \right| }\) obustronnie do kwadratu otrzymujemy

\(\displaystyle{ \|x\|\|y\|=\Re (x|y)}\)

Dalej z nierówności Schwarza:

\(\displaystyle{ |(x|y)|\leq \|x\|\|y\|=\Re (x|y)\leq |(x|y)|}\)

Teraz wykorzystaj warunek równoważny równości \(\displaystyle{ |(x|y)|=\|x\|\|y\|}\).