Strona 1 z 1
Granica
: 20 cze 2021, o 13:34
autor: kt26420
Proszę o pomocy, jak znaleść taką granicę \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1}\)
Probowałam oszacować przez HM-GM i GM-AM, ale nic mi z tego nie wyszło.
Re: Granica
: 20 cze 2021, o 13:48
autor: Premislav
Ze wzoru Taylora wynika oszacowanie
\(\displaystyle{ \sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}}\) dla małych iksów, dokładniej \(\displaystyle{ \sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}+o\left(x\right)}\).
Stosując tu tę aproksymację, otrzymamy
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1\approx \frac{k}{2n^2}}\), natomiast
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2n^2}=\frac{1}{4}}\), bo
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}\).
Bardziej formalnie, można udowodnić nierówności w dodatnich
\(\displaystyle{ 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}\le \sqrt{1+x}\le 1+\frac{x}{2}}\)
i zastosować takie nierówności dla \(\displaystyle{ x:=\frac{k}{n^2}, \ k=1,2\ldots n}\), a następnie wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach. Udowodnienie tych nierówności zostawiam zaś jako ćwiczenie dla Ciebie, w razie problemów pisz.
Re: Granica
: 20 cze 2021, o 15:49
autor: a4karo
Można też zauważyć, że
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1=\frac{\frac{k}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}+1}}\) oraz
\(\displaystyle{ 2<\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}+1\leq \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\)
Re: Granica
: 20 cze 2021, o 17:28
autor: kt26420
Premislav pisze: ↑20 cze 2021, o 13:48
Ze wzoru Taylora wynika oszacowanie
\(\displaystyle{ \sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}}\) dla małych iksów, dokładniej
\(\displaystyle{ \sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}+o\left(x\right)}\).
Stosując tu tę aproksymację, otrzymamy
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1\approx \frac{k}{2n^2}}\), natomiast
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2n^2}=\frac{1}{4}}\), bo
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}\).
Bardziej formalnie, można udowodnić nierówności w dodatnich
\(\displaystyle{ 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}\le \sqrt{1+x}\le 1+\frac{x}{2}}\)
i zastosować takie nierówności dla
\(\displaystyle{ x:=\frac{k}{n^2}, \ k=1,2\ldots n}\), a następnie wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach. Udowodnienie tych nierówności zostawiam zaś jako ćwiczenie dla Ciebie, w razie problemów pisz.
Dzięki !!!
Dodano po 24 sekundach:
a4karo pisze: ↑20 cze 2021, o 15:49
Można też zauważyć, że
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1=\frac{\frac{k}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}+1}}\) oraz
\(\displaystyle{ 2<\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}+1\leq \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\)
Dziękuję
